[MATH] La célèbre hypothèse de Riemann expliquée aux khey

Le 29 juin 2020 à 18:21:42 jeancommutatif a écrit :

et si je me souviens bien, Alan Turing, père de l'informatique moderne, et casseur du code allemand durant la seconde guerre mondiale, avait à l'origine créé sa machine de Turing pour trouver un zéro hors de la droite et montrer ainsi que l'hypothèse est fausse. La suite, vous la connaissez

La "machine de Turing" peut représenter plusieurs choses. D'abord il y a cette machine théorique qui est juste une expérience de pensée, un tête de lecture avec des états et un ruban de longueur infinie. Cette machine de Turing n'a jamais été construite par Turing et ne présente à peu près aucun intérêt pratique. C'est juste un truc qui permet de faire des raisonnements théoriques. Ce n'est pas l'ancêtre de l'ordinateur.

L'autre "machine de Turing" c'est celle construite par Turing et tout son équipe pour essayer de casser le code des allemands, mais on est loin d'un ordinateur ou d'une machine capable d'effectuer des calculs tels quels.

Bref, Turing n'a pas crée sa machine (peu importe de laquelle on parle) avec l'hypothèse de Riemann en tête. En revanche il est tout à fait possible qu'il ait envisagé la création/utilisation d'ordinateurs pour trouver des zéros non triviaux de zeta mais ça n'a pas grand chose à voir avec les machines de Turing.

Ah et si tu veux faire de la recherche je te conseil fortement de t'aménager une porte de sortie, genre agrégation ou travailler en entreprise. La recherche académique est très bouchée en France (et ailleurs) en ce moment.

Ok, bien vu, le contexte était effectivement erroné, toutes mes excuses les khey et au passage, ton pseudo m'a fait marrer Et oui la recherche est un monde qui a l'air vraiment compliqué en effet, c'est sûrement très très dur de percer. Merci pour tes conseils.

Pour ce qui est des calculs de Turing sur zeta, il en a effectivement fait mais à l'aide de la fonction Z, qui est une version un peu différente de zeta (les zéros sont les mêmes bien entendu), plus d'infos https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/plms/s3-3.1.99

J'écris la suite demain je pense, je suis un peu crevé ce soir, merci encore aux khey qui suivent ce topic !

Intéressant le dernier chapitre par contre c'est pas faux qu'il était un peu costaud

Je pense que tu devrais mettre en balise spoil les passages vraiment technique genre les contours etc... que quelqu'un qui connaisse pas du tout ce genre de choses puisse lire tout le pavé d'une traite sans buter sur des trucs qui semblent lunaires

Perso en tout cas ça me fait sortir du pavé quand d'un coup faut réfléchir pour comprendre j'ai pas l'habitude de le faire

Allez c'est ma tournée :

SOMMAIRE

1. Les nombres premiers késako : https://www.jeuxvideo.com/cornettotrilogy/forums/message/1053462086

2. Estimer leur répartition et fonction logarithme intégral : https://www.jeuxvideo.com/cornettotrilogy/forums/message/1053471374

3. Précisions sur la fonction logarithme intégral : https://www.jeuxvideo.com/cornettotrilogy/forums/message/1053472182

4. Retour dans le passé : Euler et l'origine de la fonction zêta : https://www.jeuxvideo.com/cornettotrilogy/forums/message/1053476086

5. Quand Riemann vient mettre ses couilles sur la table : https://www.jeuxvideo.com/cornettotrilogy/forums/message/1053487270

6. Lien entre nombres premiers et zéros de la fonction de Riemann : https://www.jeuxvideo.com/cornettotrilogy/forums/message/1053502822

7. Théorème des nombres premiers et autres anecdotes : https://www.jeuxvideo.com/cornettotrilogy/forums/message/1053609502

Le 29 juin 2020 à 23:44:26 Yang_Mill a écrit :
Intéressant le dernier chapitre par contre c'est pas faux qu'il était un peu costaud

Je pense que tu devrais mettre en balise spoil les passages vraiment technique genre les contours etc... que quelqu'un qui connaisse pas du tout ce genre de choses puisse lire tout le pavé d'une traite sans buter sur des trucs qui semblent lunaires

Perso en tout cas ça me fait sortir du pavé quand d'un coup faut réfléchir pour comprendre j'ai pas l'habitude de le faire

Allez c'est ma tournée :

SOMMAIRE

1. Les nombres premiers késako : https://www.jeuxvideo.com/cornettotrilogy/forums/message/1053462086

2. Estimer leur répartition et fonction logarithme intégral : https://www.jeuxvideo.com/cornettotrilogy/forums/message/1053471374

3. Précisions sur la fonction logarithme intégral : https://www.jeuxvideo.com/cornettotrilogy/forums/message/1053472182

4. Retour dans le passé : Euler et l'origine de la fonction zêta : https://www.jeuxvideo.com/cornettotrilogy/forums/message/1053476086

5. Quand Riemann vient mettre ses couilles sur la table : https://www.jeuxvideo.com/cornettotrilogy/forums/message/1053487270

6. Lien entre nombres premiers et zéros de la fonction de Riemann : https://www.jeuxvideo.com/cornettotrilogy/forums/message/1053502822

7. Théorème des nombres premiers et autres anecdotes : https://www.jeuxvideo.com/cornettotrilogy/forums/message/1053609502

Et encore une tournée les marlou l'apero de minuit commence

Merci beaucoup Yang_mill !

Et merci pour le conseil sur les passages techniques, je retiens ça pour demain et le prochain épisode

Ca fait plaisir de voir des khey s'intéresser à ce genre de sujet et ça motive clairement à ne pas s'arrêter!

Lorsqu'une fonction arithmétique joue à pile ou face

Je vais essayer de donner une idée de la complexité des phénomènes qui émergent parfois des fonctions arithmétiques en lien avec Zêta.

Pour cela, je vais définir une nouvelle fonction, la fonction de Mertens. Mais il me faut d'abord introduire la fonction de Möbius. Je vais rendre ça le plus accessible possible, et réserve quelques notions mathématiques pour la fin du message.

C'est une fonction assez simple, elle prend ses valeurs dans l'ensemble {-1 ; 0 ; 1}.
Soit n, un nombre entier différent de 0.
Cette fonction vaut :
-1 lorsque se nombre entier est le produit d'un nombre impair de facteurs premiers distincts.
0 lorsque n a un facteur premier qui se répète
1 lorsque n est le produit d'un nombre pair de facteurs premiers distincts.

Notons M(x) la fonction de Mertens qui est simplement la fonction sommatoire de la fonction de Möbius. Très concrètement, on fait la somme des valeurs de la fonction de möbius pour chaque valeur inférieur ou égale à x. L'hypothèse de Riemann prévoit dés lors que la fonction de Mertens n'est jamais supérieur à la racine de x, grosso modo. Et comme nous le disions, l'arithmétique, les nombres premiers, etc... sont des phénomènes déterministes. Pourtant, regardons à quoi ressemble le graphique de la fonction de Mertens : https://en.wikipedia.org/wiki/Mertens_function#/media/File:Mertens.svg (pour x <=1000).

Comme vous pouvez le voir, M(x) a un comportement pour le moins bordélique et, bien qu'elle soit déterministe, l'hypothèse de Riemann nous dit de cette fonction qu'elle est "raisonnablement" aléatoire. Pour illustrer cela, prenons l'exemple du jeu pile ou face. Lorsqu'on lance une pièce, on s'attend à ce que la probabilité que la pièce retombe sur pile soit égale à la probabilité que la pièce retombe sur face, c'est à dire, qu'elles soient toutes deux égales à 1/2.

Définissons donc ce que l'on appelle une variable aléatoire. Donnons lui la valeur -1 lorsque la pièce tombe sur pile, et 1 lorsque la pièce tombe sur face et notons X(n) la. Si maintenant l'on fait l'expérience x fois, et que l'on fait la somme des toutes les valeurs obtenues (c'est à dire chaque X(n) pour lesquelles n<=x), on s'attendra à ce que le graph obtenu à chaque marche soit délimité par la courbe obtenue avec la fonction racine de x.

Toutefois, la différence avec le lancé de pièce, c'est que la fonction de Möbius vaut régulièrement 0 (environ 40% de ces valeurs sont égales à 0). Mais je trouve que cette interprétation donne une bonne intuition du côté aléatoire de cette fonction. Mais ce raisonnement ne peut pas être rendu rigoureux, car la fonction de Möbius n'est pas une variable aléatoire. Intuitivement, on peut en tirer que les événements, si l'on peut dire, "être produit d'un nombre pair de nombre premier distinct" et "être produit d'un nombre impair de nombre premier distinct" sont distribués parmis les entiers de manière très égale, et qu'aucun ne domine réellement sur l'autre. Mais comme dit précédemment et illustré par cette analogie, la fonction de möbius semble très aléatoire. C'est ce côté aléatoire qui est codé par les zéros de Zêta.

D'ailleurs, il existe une formule exacte pour la fonction de Mertens. Mais l'hypothèse de Riemann ne suffit pas pour l'énoncer, il faut également que les zéros vérifient une autre condition qui est la simplicité. Cela signifie que la courbe de zêta ne doit jamais passer deux fois ou plus par le même zéro. Cette condition est aujourd'hui admise comme au moins aussi compliquée à prouver que ne l'est l'hypothèse de Riemann, nous voilà bien avancé

La suite sera un peu plus technique et concerne les khey les plus curieux.

Pour donner une idée de la précision que propose l'hypothèse de Riemann, rappelons qu'elle est équivalente à l'assertion suivante : M(x) <=k*x^(1/2+epsilon), pour tout nombre epsilon>0 et pour un certain K réel, que l'on peut déterminer dans le but d'avoir une majoration un peu plus explicite de cette fonction. Mertens lui, avait conjecturé que M(x) < x^1/2 (= racine de x). Cette conjecture s'est avérée fausse. Ce qui montre bien que la majoration prévue par HR est très serrée.

Pour comprendre d'où vient cette équivalence, il faut comprendre cette formule :
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a02761b595f0707882a978c1d010199ef25890

L'hypothèse de Riemann prévoit que l'intégrale de droite converge pour toute valeur de s dont la partie réelle est supérieur à 1/2. Car dans le membre de gauche, Zêta est cette fois si au dénominateur, et dés lors que sous HR elle s'annule uniquement sur la droite Re(s)=1/2, la fonction 1/zeta(s) n'est jamais singulière pour re(s)>1/2. Et si tu es un lecteur attentif, tu te souviens peut-être que zeta(s) a une singularité en s=1 mais pas de panique, le théorème des nombres premiers est équivalent à dire que 1/zeta(1)=0. On peut donc, à partir de ce fait, estimer la majoration de M(x).

Voilà pour cet épisode

PS : Encore une fois, tout le monde est libre d'apporter ses précisions, et est même hautement convié à le faire Pour les matheux, je sais que tout n'est pas très précis, mais il faut faire des sacrifices, les concepts utilisés sont justes trop compliqués, mais je trouve que ça permet quand même d'avoir une excellente idée de ce qu'il se passe. J'espère aussi que la première partie restera compréhensible pour les khey, mais je pense que oui.

Le 30 juin 2020 à 12:19:23 canardpecheure a écrit :
Sympa, je ne suis pas trop matheux mais c'est intéressant à lire avec un verre de jaune

Merci

Je rajoute une précision pour les curieux et les matheux liée à mon message précédent.

Voici la formule exacte de M(x) : https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/553b0676766d2aa88b5f9f82c94903698695cd34

On l'obtient, en faisant l'hypothèse que les zéros sont simples et qu'ils satisfont HR, en appliquant le puissant théorème des résidus à cette intégrale : https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b7b15c61a84855186f90c6f5595428cc978bc1

Je suis deg, j'ai écrit un message et après avoir posté j'apprends que je suis kick par GLaDOS.
Message perdu

il faut également que les zéros vérifient une autre condition qui est la simplicité. Cela signifie que la courbe de zêta ne doit jamais passer deux fois ou plus par le même zéro.

Ça n'a pas vraiment de sens

Dire que z est un zéro simple de zeta(s), ça veut dire qu'en factorisant zeta(s) par s-z le plus possible, ce facteur apparaîtra qu'une seule fois. Plus précisément zeta(s)/(s-z) se prolonge en une fonction analytique, mais pas zeta(s)/(s-z)², ni zeta(s)/(s-z)³, etc.

Pour comprendre d'où vient cette équivalence, il faut comprendre cette formule :

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a02761b595f0707882a978c1d010199ef25890

Cette formule se démontre aisément (pour un mathématicien chevronné, pas de panique si vous ne trouvez pas ça immédiat) à l'aide de la formule sommatoire d'Abel et de la formule d'inversion de Möbius (zeta est une série dite de Dirichlet, et oui ça a un lien avec la fonction de Möbius présentée par l'OP).

https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_sommatoire_d%27Abel
https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Dirichlet#Exemples_de_d.C3.A9compositions_en_s.C3.A9rie_de_Dirichlet

La conjecture "M(x) <=k*x^(1/2+epsilon) pour tout epsilon" permet de montrer que l'intégrale est encore définie pour Re s > 1/2 et définit une fonction analytique (aux propriétés savoureuses).

En particulier, en vertu du principe du prolongement analytique, cela signifierait que zeta(s) est inversible, donc non nul, pourvu que Re s > 1/2. Mais l'équation fonctionnelle de Riemann exprime une sorte de symétrie, si bien qu'elle suffit à justifier que zeta(s) ne s'annule pas non plus quand Re s < 1/2 (edit: en dehors des zéros triviaux bien sûr). La redoutable HR serait donc démontrée, facile non ?

C'est certainement la voie la plus pénible à emprunter pour démontrer l'HR, mais ça révèle bien que la répartition des nombres premiers est intimement liée à la localisation des zéros de la fonction zêta.

On l'obtient, en faisant l'hypothèse que les zéros sont simples et qu'ils satisfont HR, en appliquant le puissant théorème des résidus à cette intégrale : https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b7b15c61a84855186f90c6f5595428cc978bc1

À noter que papa Riemann a démontré dans son papier de 1859 que les zéros de zêta étaient assez espacés (asymptotiquement), ce qui autorise à passer à la limite sans vergogne dans le calcul des résidus.

Le 30 juin 2020 à 12:39:52 Cornettotrilogy a écrit :

Le 30 juin 2020 à 12:19:23 canardpecheure a écrit :
Sympa, je ne suis pas trop matheux mais c'est intéressant à lire avec un verre de jaune

Merci

Je rajoute une précision pour les curieux et les matheux liée à mon message précédent.

Voici la formule exacte de M(x) : https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/553b0676766d2aa88b5f9f82c94903698695cd34

On l'obtient, en faisant l'hypothèse que les zéros sont simples et qu'ils satisfont HR, en appliquant le puissant théorème des résidus à cette intégrale : https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b7b15c61a84855186f90c6f5595428cc978bc1

Beau pseudo, je mis du temps à comprendre alors que je suis fan

Le 30 juin 2020 à 13:39:56 DonDoritos10 a écrit :
Je suis deg, j'ai écrit un message et après avoir posté j'apprends que je suis kick par GLaDOS.
Message perdu

il faut également que les zéros vérifient une autre condition qui est la simplicité. Cela signifie que la courbe de zêta ne doit jamais passer deux fois ou plus par le même zéro.

Ça n'a pas vraiment de sens

Dire que z est un zéro simple de zeta(s), ça veut dire qu'en factorisant zeta(s) par s-z le plus possible, ce facteur apparaîtra qu'une seule fois. Plus précisément zeta(s)/(s-z) se prolonge en une fonction analytique, mais pas zeta(s)/(s-z)², ni zeta(s)/(s-z)³, etc.

Pour comprendre d'où vient cette équivalence, il faut comprendre cette formule :

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a02761b595f0707882a978c1d010199ef25890

Cette formule se démontre aisément (pour un mathématicien chevronné, pas de panique si vous ne trouvez pas ça immédiat) à l'aide de la formule sommatoire d'Abel et de la formule d'inversion de Möbius (zeta est une série dite de Dirichlet, et oui ça a un lien avec la fonction de Möbius présentée par l'OP).

https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_sommatoire_d%27Abel
https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Dirichlet#Exemples_de_d.C3.A9compositions_en_s.C3.A9rie_de_Dirichlet

La conjecture "M(x) <=k*x^(1/2+epsilon) pour tout epsilon" permet de montrer que l'intégrale est encore définie pour Re s > 1/2 et définit une fonction analytique (aux propriétés savoureuses).

En particulier, en vertu du principe du prolongement analytique, cela signifierait que zeta(s) est inversible, donc non nul, pourvu que Re s > 1/2. Mais l'équation fonctionnelle de Riemann exprime une sorte de symétrie, si bien qu'elle suffit à justifier que zeta(s) ne s'annule pas non plus quand Re s < 1/2 (edit: en dehors des zéros triviaux bien sûr). La redoutable HR serait donc démontrée, facile non ?

C'est certainement la voie la plus pénible à emprunter pour démontrer l'HR, mais ça révèle bien que la répartition des nombres premiers est intimement liée à la localisation des zéros de la fonction zêta.

On l'obtient, en faisant l'hypothèse que les zéros sont simples et qu'ils satisfont HR, en appliquant le puissant théorème des résidus à cette intégrale : https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b7b15c61a84855186f90c6f5595428cc978bc1

À noter que papa Riemann a démontré dans son papier de 1859 que les zéros de zêta étaient assez espacés (asymptotiquement), ce qui autorise à passer à la limite sans vergogne dans le calcul des résidus.

C'est vrai que ça veut rien dire Je sais pas pourquoi j'ai écris ça mais bon, pour ceux qui se souviennent de leur math, penser en gros à un polynôme, c'est le même principe.

Merci pour ton intervention constructive en tout cas !

Le 30 juin 2020 à 16:28:12 canardpecheure a écrit :

Le 30 juin 2020 à 12:39:52 Cornettotrilogy a écrit :

Le 30 juin 2020 à 12:19:23 canardpecheure a écrit :
Sympa, je ne suis pas trop matheux mais c'est intéressant à lire avec un verre de jaune

Merci

Je rajoute une précision pour les curieux et les matheux liée à mon message précédent.

Voici la formule exacte de M(x) : https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/553b0676766d2aa88b5f9f82c94903698695cd34

On l'obtient, en faisant l'hypothèse que les zéros sont simples et qu'ils satisfont HR, en appliquant le puissant théorème des résidus à cette intégrale : https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b7b15c61a84855186f90c6f5595428cc978bc1

Beau pseudo, je mis du temps à comprendre alors que je suis fan

Je commençais à croire que personne connaissait Dans le genre comédie, on ne fait pas mieux!

Le 30 juin 2020 à 18:50:03 heisenberg_64X a écrit :
Ayaa il parle même pas des zéros triviaux

C'est pas beau de juger avant d'avoir lu

Je commençais à croire que personne connaissait Dans le genre comédie, on ne fait pas mieux!

C'est vrai que c'est rare de trouver quelqu'un qui connait, le monde est petit

Le 30 juin 2020 à 19:57:03 canardpecheure a écrit :

Je commençais à croire que personne connaissait Dans le genre comédie, on ne fait pas mieux!

C'est vrai que c'est rare de trouver quelqu'un qui connait, le monde est petit

Et pourtant, dieu sait que c'est énorme Ils ont pas eu le succès qu'ils méritaient ces films, franchement un quatrième, je ne serais pas contre

Le 30 juin 2020 à 19:59:50 HautPhasme a écrit :
comment tu es devenu fort en maths kheyou ?

Je ne pense pas être fort en math J'adore ça et j'ai passé beaucoup de temps à faire des exercices sur un tas de trucs, à lire pour avoir aussi une culture de cette discipline. Mais clairement, c'est une question de travail, personne ne progresse en math sans en faire. J'ai envie de te dire que ça vaut pour n'importe quelle autre discipline complexe. Mais il ne faut pas non plus avoir peur de la complexité des maths, car c'est cette complexité qui en fait la richesse. Mais pour réellement saisir la beauté de cette complexité, il faut s'y habituer. c'est d'ailleurs je ne sais plus quel mathématicien célèbre qui avait dit que "les maths, on ne les comprend pas, on s'y habitue".
Et finalement, c'est assez vrai je trouve Mais pour s'y habituer, il faut lui consacrer le temps nécessaire, et ne pas se juger, car je suis persuadé que beaucoup de gens on peur des maths/partent du principe qu'ils vont galérer tellement il est normalisé d'avoir un niveau médiocre, sans jugement bien sûr, je trouve juste cela dommage.

Le 30 juin 2020 à 22:30:26 Yang_Mill a écrit :
La dernière partie m'a donné envie de tester un truc de physicien je vais regarder

Je crois que j'ai prouvé la conjecture de Mertens les marlous

Le 01 juillet 2020 à 00:47:58 Yang_Mill a écrit :

Le 30 juin 2020 à 22:30:26 Yang_Mill a écrit :
La dernière partie m'a donné envie de tester un truc de physicien je vais regarder

Je crois que j'ai prouvé la conjecture de Mertens les marlous

Ah bon ?
Tu as prouvé que M(n)/-sqrt(n) est bornée ?
Qu'as-tu fait exactement je ne comprends pas.

Le 01 juillet 2020 à 00:51:24 Ghauss3 a écrit :

Le 01 juillet 2020 à 00:47:58 Yang_Mill a écrit :

Le 30 juin 2020 à 22:30:26 Yang_Mill a écrit :
La dernière partie m'a donné envie de tester un truc de physicien je vais regarder

Je crois que j'ai prouvé la conjecture de Mertens les marlous

Ah bon ?
Tu as prouvé que M(n)/-sqrt(n) est bornée ?
Qu'as-tu fait exactement je ne comprends pas.

Celle-ci elle est fausse mais j'ai trouvé que M(x)=O(x^{0.5-ε}) no cake

Le 01 juillet 2020 à 00:52:41 Yang_Mill a écrit :

Le 01 juillet 2020 à 00:51:24 Ghauss3 a écrit :

Le 01 juillet 2020 à 00:47:58 Yang_Mill a écrit :

Le 30 juin 2020 à 22:30:26 Yang_Mill a écrit :
La dernière partie m'a donné envie de tester un truc de physicien je vais regarder

Je crois que j'ai prouvé la conjecture de Mertens les marlous

Ah bon ?
Tu as prouvé que M(n)/-sqrt(n) est bornée ?
Qu'as-tu fait exactement je ne comprends pas.

Celle-ci elle est fausse mais j'ai trouvé que M(x)=O(x^{0.5-ε}) no cake

Ce n'est pas équivalent à la conjecture de Riemann justement ?

Le 01 juillet 2020 à 00:54:02 Ghauss3 a écrit :

Le 01 juillet 2020 à 00:52:41 Yang_Mill a écrit :

Le 01 juillet 2020 à 00:51:24 Ghauss3 a écrit :

Le 01 juillet 2020 à 00:47:58 Yang_Mill a écrit :

Le 30 juin 2020 à 22:30:26 Yang_Mill a écrit :
La dernière partie m'a donné envie de tester un truc de physicien je vais regarder

Je crois que j'ai prouvé la conjecture de Mertens les marlous

Ah bon ?
Tu as prouvé que M(n)/-sqrt(n) est bornée ?
Qu'as-tu fait exactement je ne comprends pas.

Celle-ci elle est fausse mais j'ai trouvé que M(x)=O(x^{0.5-ε}) no cake

Ce n'est pas équivalent à la conjecture de Riemann justement ?

Exact, mon identité va sauter quand je passerai aux infos pour le million je vous ferai une dédi