[MATH] La célèbre hypothèse de Riemann expliquée aux khey

"Les maths sont diabolisées"

Je ne suis pas d'accord…
Elles sont au contraire sacralisées dans notre pays. Si on est matheux, alors on est très intelligent. D'ailleurs, si vous souhaitez faire médecine, vétérinaire… vous avez pas mal de maths au concours. Il y a aussi les tests de logique mathématique qui apparaissent au niveau de certains concours alors qu'avant il n'y en avait pas.

Le 29 juin 2020 à 14:57:50 Yang_Mill a écrit :
Ah mais c'est sympa ici je m'installe on vient de m'envoyer le lien

Je savais pas qu'Euler avait trouvé que la somme valait π²/6 après avoir fait le calcul à la main, j'aurais cru qu'il était tombé dessus sans s'y attendre au détour d'une intégrale

C'est bien ce genre de topic où on apprend des choses, pour l'instant les seules topics maths qui fonctionnent c'est la loi de Pareto appliquée à Tinder donc tu augmentes conséquemment le niveau déjà

Pour tirer un peu la couverture vers moi, la conjecture de Riemann a peut être des applications en mécanique quantiques car les zéros de la fonctions seraient les valeurs propres d'un certain hamiltonien, ça s'appelle la conjecture d'Hilbert-Polya

Allez sweet

Bah non il a pas sorti le pi²/6 de son cul

Il l'a trouvé en extrapolant le théorème de d'Alembert-Gauss à la fonction sinus cardinal

Le 29 juin 2020 à 15:43:34 HautPhasme a écrit :
"Les maths sont diabolisées"

Je ne suis pas d'accord…
Elles sont au contraire sacralisées dans notre pays. Si on est matheux, alors on est très intelligent. D'ailleurs, si vous souhaitez faire médecine, vétérinaire… vous avez pas mal de maths au concours. Il y a aussi les tests de logique mathématique qui apparaissent au niveau de certains concours alors qu'avant il n'y en avait pas.

C'est ce qu'il dit

Sacralisation diabolisante

Suite !

Vous vous souvenez de l'approximation de Gauss ? Eh bien, grâce au travail de Riemann sur la fonction zêta, la conjecture de Gauss a pu être démontrée dans les années 1900, et porte désormais le doux nom de Théorème des nombres premiers. Pourquoi grâce au travail de Riemann ? Car on a pu se rendre compte plus tard que la conjecture de Gauss était équivalente à l'absence de zéro de la fonction zêta sur la droite Re(s)=1.

Je vais tenter de parler un peu des maths qui expliquent cette équivalence, mais je préviens déjà ce sera pas extrêmement précis, les premières démos du TNP sont très difficiles à suivre je trouve (elles ont étés publiées la même année par De La Vallée-poussin et Hadamard, indépendamment).

J'ai déjà parlé d'intégrale curviligne précédemment. Figurez-vous qu'en analyse complexe, il existe un puissant théorème, le théorème des résidus, qui nous dis en gros que le comportement d'une intégrale curviligne est totalement déterminé par les singularités/zéros de la fonction que l'on intègre. Maintenant, souvenez-vous de la fonction zêta, j'ai dis qu'elle était valide pour tout complexe s différent de 1, ce dernier point étant une singularité de la fonction. (c'est une "conséquence" de la divergence de la série harmonique, qui est la série que l'on obtient lorsque l'on remplace s par 1 dans la première expression de zêta que j'ai donnée, celle définie par une série/somme).

Rappelez vous la formule exacte de Riemann : https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f456844cb21fc391c5c2904cbc34ebcd095c0d0

Vous voyez le terme Li(x) dans cette formule ? Celui-ci vient du pôle de zêta en 1 lorsqu'on lui applique le théorème des résidus (enfin pas tout à fait en réalité mais je vais pas rentrer dans les détails, c'est vite technique). Il restait donc à prouver que il n'y a aucun zéro sur Re(s)=1 et donc, que les autres termes sont "négligeables" devant Li(x). En réalité, une autre formule exacte à été utilisée dans le cas de la démo du TNP, c'est celle-ci :
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2e7149ff4e06c755c61bbd2eda580348ea97bf4

Où le membre de gauche (et de droite vu que c'est une égalité vraie ) est la fonction de Von Magoldt. Il s'agit d'une somme sur tout les logarithmes naturels de puissances de nombres premiers inférieur à x. Il faut donc comprendre que à chaque puissance de nombre premier p, on rajoute la quantité log p dans la somme. Bien que cette fonction paraisse peut être moins intuitive que Pi(x), elle s'est révélée comme la fonction la plus "naturelle" pour compter les nombres premiers. Pour s'en convaincre, il suffit de voir que la formule exacte de cette fonction est bien plus pratique pour bosser.

Le premier terme x correspond également au pôle de zêta
Le second terme est une somme sur les zéros de zêta, qui ne fait pas intervenir la fonction compliquée Li(x) qu'on peut calculer que numériquement.
Le troisième terme est juste une constante et le dernier terme est une somme qui correspond aux zéros dit "triviaux" de zêta. je n'en ai pas parlé d'ailleurs, mais on les appelle triviaux (en opposition aux zéros non-triviaux que l'on tente de comprendre) car ils sautent aux yeux dans l'équation fonctionnelle de zêta, et apparaissent à chaque valeur entière paire négative. D'ailleurs, la somme sur les zéros triviaux dans l'expression est négligeable, elle tend rapidement vers 0.

La preuve du théorème des nombres premiers à donc démontré que la fonction de Von Mangoldt était asymptotiquement équivalente à x, avec une erreur dont la taille dépend uniquement des zéros non triviaux de la fonction zêta. Cette assertion est équivalente à celle de Gauss Pi(x)~Li(x). Elle fournit également une approximation asymptotique pour le n-ième nombre premier p(n) : P(n)~n*ln(n). Cette approximation s'obtient en utilisant l'équivalence du TNP Pi(x)~x/ln(x) (qui découle directement de Li(x)~x/ln(x)) et en utilisant le fait que Pi(p(n))=n, le reste étant du calcul élémentaire.

Pour ce qui est des formules exactes, il n'y a pas que les deux dont j'ai parlé, il y en a plusieurs. Concrètement, on peut en trouver une pour un tas de fonction arithmétique dont le comportement est très erratique, grâce à Zêta, qui est, comme nous pouvons le voir à travers ce topic, un outil extrêmement puissant dans l'étude des nombres premiers.

Revenons maintenant à la question de la taille de l'erreur commise dans nos approximations. J'ai dis qu'elle était complètement déterminée par les zéros de zêta. Si on considère que l'hypothèse de Riemann est vraie, alors l'erreur commise dans l'approximation de pi(x) par li(x) est grosso modo de la taille de la racine de x. En faite, pour être encore plus précis, on sait que si b désigne la plus grande partie réelle de s pour laquelle zeta s'annule, alors on a :
Pi(x)-li(x) < x^b*ln(x). Il a été démontré que le terme d'erreur qui découle de l'hypothèse de Riemann est le meilleur possible.
Et ça, c'est pareil pour plusieurs autres fonctions arithmétiques, dont celle de Von Mangoldt présentée plus haut.

Toute connaissance nouvelles sur les zéros de zeta se répercute donc sur la connaissance des nombres premiers, et inversément. Aujourd'hui, la plus grande région sans zéro connue est vraiment pas énorme.et on a beaucoup de peine à traverser la bande [1/2 ; 1[, que l'on appelle bande critique, car toutes les choses intéressantes s'y passent On sait en revanche que :

- il existe une infinité de zéros non triviaux sur la droite Re(s)=1/2. Mais ça ne signifie pas qu'ils y sont tous malheureusement. Cela a été démontré par Hardy si je ne me trompe pas, qui avait fait de l'hypothèse de Riemann une priorité. Il dira d'ailleurs plus tard que si l'on arrive pas à démontrer cette hypothèse, c'est probablement parce qu'elle est fausse, et il n'y a aucune raison qu'elle soit vraie.
C'est aussi ça le gros soucis avec une démonstration éventuelle de cette hypothèse : personne ne sait par où commencer. Il n'y a juste aucune raison imaginable pour l'instant permettant de comprendre pourquoi les zéros seraient tous là et non pas ailleurs. Le fait qu'ils soient ordonnés ainsi était d'ailleurs une énorme surprise puisque cela donnait un côté ordonné à l'apparent chaos qui régit les nombres premiers.

- Au moins 40% des zéros sont sur la droite. Mais ça, même si ça nous avance un peu, ça n'est pas non plus d'une utilité folle, car même si l'on prouvait que 100% des zéros sont sur la droite il pourrait encore y avoir un zéro sauvage quelque part (l'infini c'est compliqué)

- On sait que l'hypothèse de riemann est équivalent au fait que la constante dite de De Bruijn-newman soit inférieur ou égale à zéro. Terrence Tao a récemment montré que la constante n'était jamais négative, la seule solution pour que l'hypothèse de Riemann soit vraie serait donc qu'elle soit nulle, mais personne ne sait comment le démontrer. Pour reprendre les mots de Tao, si HR est vraie, alors elle est à peine vraie

- On a vérifié pour des valeurs de la partie imaginaire jusqu'à 10^14, evidemment, tous les zéros étaient sur la droite. D'ailleurs, petite anecdote sympa, et si je me souviens bien, Alan Turing, père de l'informatique moderne, et casseur du code allemand durant la seconde guerre mondiale, avait à l'origine créé sa machine de Turing pour trouver un zéro hors de la droite et montrer ainsi que l'hypothèse est fausse. La suite, vous la connaissez

Je termine sur le fait que, si autant de mathématicien pense que HR est vraie, c'est parce que les maths, c'est l'étude de motif qui se répète. Et un zéro qui serait hors de cette droite, ça donnerait un côté "peu naturel", si l'on peut dire, à leur répartition.

Bon aller, j'ai pas mal écrit, suite au prochain message, car il y a encore des choses à dire

Le 29 juin 2020 à 15:53:37 sinusPERIODIQUE a écrit :

Le 29 juin 2020 à 14:57:50 Yang_Mill a écrit :
Ah mais c'est sympa ici je m'installe on vient de m'envoyer le lien

Je savais pas qu'Euler avait trouvé que la somme valait π²/6 après avoir fait le calcul à la main, j'aurais cru qu'il était tombé dessus sans s'y attendre au détour d'une intégrale

C'est bien ce genre de topic où on apprend des choses, pour l'instant les seules topics maths qui fonctionnent c'est la loi de Pareto appliquée à Tinder donc tu augmentes conséquemment le niveau déjà

Pour tirer un peu la couverture vers moi, la conjecture de Riemann a peut être des applications en mécanique quantiques car les zéros de la fonctions seraient les valeurs propres d'un certain hamiltonien, ça s'appelle la conjecture d'Hilbert-Polya

Allez sweet

Bah non il a pas sorti le pi²/6 de son cul

Il l'a trouvé en extrapolant le théorème de d'Alembert-Gauss à la fonction sinus cardinal

C'est possible en effet, je ne peux pas garantir l'exactitude de mon propos, je sais juste que Euler avait un feeling assez incroyable quand il s'agissait de math, et lorsque j'ai lu qu'il avait "deviné" que c'était pi^2/6, j'étais pas plus étonné que ça

Le 29 juin 2020 à 16:03:59 Yang_Mill a écrit :

Le 29 juin 2020 à 15:43:34 HautPhasme a écrit :
"Les maths sont diabolisées"

Je ne suis pas d'accord…
Elles sont au contraire sacralisées dans notre pays. Si on est matheux, alors on est très intelligent. D'ailleurs, si vous souhaitez faire médecine, vétérinaire… vous avez pas mal de maths au concours. Il y a aussi les tests de logique mathématique qui apparaissent au niveau de certains concours alors qu'avant il n'y en avait pas.

C'est ce qu'il dit

Sacralisation diabolisante

Oui disons que, Haut phasme, tu confirmes indirectement mon propos en disant "matheux=très intelligent". Je pense au contraire que les maths sont accessibles à n'importe qui ayant une intelligence normal. En revanche, ce qui est moins accessible éventuellement, c'est la discipline que cette matière demande pour progresser. Là c'est clair que tout le monde n'aura pas la même patience. Et c'est parfois frustrant de coincé sur une définition, ou galérer à appliquer un théorème que l'on vient d'apprendre, et on a vite fait de se sentir "nul", mais il faut prendre la chose autrement : toute discipline difficile demande un travail à la démesure de sa difficulté, si ça veut dire quelque chose Je pense que dans la vie, il faut avant tout croire en sa réussite, et dés lors, tout est possible. Se dire que c'est trop dur, c'est se posé des limites que personnes ne devraient se poser. J'aime beaucoup la phrase "ils ne savaient pas que c'était impossible, alors ils l'ont fait" de Mark Twain. Espérons qu'un jour elle s'applique à l'hypothèse de Riemann

Le 29 juin 2020 à 16:34:00 Cornettotrilogy a écrit :

Le 29 juin 2020 à 15:53:37 sinusPERIODIQUE a écrit :

Le 29 juin 2020 à 14:57:50 Yang_Mill a écrit :
Ah mais c'est sympa ici je m'installe on vient de m'envoyer le lien

Je savais pas qu'Euler avait trouvé que la somme valait π²/6 après avoir fait le calcul à la main, j'aurais cru qu'il était tombé dessus sans s'y attendre au détour d'une intégrale

C'est bien ce genre de topic où on apprend des choses, pour l'instant les seules topics maths qui fonctionnent c'est la loi de Pareto appliquée à Tinder donc tu augmentes conséquemment le niveau déjà

Pour tirer un peu la couverture vers moi, la conjecture de Riemann a peut être des applications en mécanique quantiques car les zéros de la fonctions seraient les valeurs propres d'un certain hamiltonien, ça s'appelle la conjecture d'Hilbert-Polya

Allez sweet

Bah non il a pas sorti le pi²/6 de son cul

Il l'a trouvé en extrapolant le théorème de d'Alembert-Gauss à la fonction sinus cardinal

Oui disons que, Haut phasme, tu confirmes indirectement mon propos en disant "matheux=très intelligent". Je pense au contraire que les maths sont accessibles à n'importe qui ayant une intelligence normal. En revanche, ce qui est moins accessible éventuellement, c'est la discipline que cette matière demande pour progresser. Là c'est clair que tout le monde n'aura pas la même patience. Et c'est parfois frustrant de coincé sur une définition, ou galérer à appliquer un théorème que l'on vient d'apprendre, et on a vite fait de se sentir "nul", mais il faut prendre la chose autrement : toute discipline difficile demande un travail à la démesure de sa difficulté, si ça veut dire quelque chose Je pense que dans la vie, il faut avant tout croire en sa réussite, et dés lors, tout est possible. Se dire que c'est trop dur, c'est se posé des limites que personnes ne devraient se poser. J'aime beaucoup la phrase "ils ne savaient pas que c'était impossible, alors ils l'ont fait" de Mark Twain. Espérons qu'un jour elle s'applique à l'hypothèse de Riemann

Bonne réflexion, tu as déjà pensé à t'orienter vers l'enseignement ? On a besoin de plus de gens comme toi dans l'éducation

Il l'a pas deviné faut pas abuser, même chez Ramanujan y'a des pseudos-raisonnements géometriques

D'ailleurs il avait probablement même pas en tête de le trouver quand il manipulait la série du sinus

C'est une légende le fait qu'Euler ait deviné la valeur exacte de zeta(2)

Euler voyait probablement les séries entières (sommes de puissances) comme des polynômes, naturellement il essaya de les factoriser en faisant intervenir leurs racines.

Dans le cas du sinus il a certainement essayé sin(x) = c * x*(x-pi)*(x+pi)*(x-2pi)*(x+2pi)... sans trouver la constante c (rien d'étonnant car le produit diverge grossièrement). Probablement il essaya ensuite sin(x) = c * x * (1-x/pi)*(1+x/pi)*(1-x/(2pi))*(1+x/(2pi))... et quand x s'approche de 0, sin(x) ~ c * x ce qui lui a sans doute permis d'obtenir c=1

Après il suffit de comparer les coefficients obtenus en développant le produit, avec ceux de la série entière. Et pouf problème résolu par hasard.

Maintenant on sait qu'il faut ajouter un facteur exponentiel + certaines hypothèses de croissance, pour écrire un tel produit infini en toute légalité ( https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_factorisation_de_Weierstrass ) .

J'apprécie ton courage, ta passion et tes connaissances kheyou mais même si j'ai essayé de suivre je t'avoue qu'a un moment j'ai laché ... Les maths j'ai du mal des que ca devient trop théorique ...

Mais je salue le topic

En 1976 des chercheurs de l'université de Calgary ont exhibé un polynôme du degré 10 en 26 variables dont les évaluations en des t-uplets d'entiers étaient toujours des nombres premiers.

On sait par exemple qu'il n'existe pas de polynôme en une variable qui puisse donner une liste de nombre premier si il a un argument entier. Mais la question se posait pour des polynômes en plusieurs variables.

Les chercheurs ont également observé que plus on montait le degré du polynôme, plus le nombre de variables baissait, mais que plus on diminuait le nombre de variables et plus le degré augmentait.

Bref c'est résultat rigolo qui nous dit que finalement les nombres premiers ne sont pas si aléatoires que ça.

Comment EUler a trouvé sa formule Zeta(2) :

https://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/se/node17.html

Je n'ai lu que le premier message, il ya une faute :

Une conjecture, c'est une proposition à laquelle on ne peut répondre que par "vrai" ou "faux".

Pour une démonstration moderne des formules pour zeta(2), zeta(4), zeta(6), etc. si ça en intéresse certains
Issu d'un de mes posts sur le marathon des maths du C&D (où mon pb a bidé )
https://www.jeuxvideo.com/geniedesco/forums/message/1071861554


Basé sur ce résultat élémentaire d'analyse complexe https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Liouville_(variable_complexe)

Je ne sais pas comment Euler a dérivé les autres formules pour zeta(4), zeta(6) etc. par contre.
Si quelqu'un a une référence je suis preneur.

Le 29 juin 2020 à 17:41:39 makefun a écrit :
Je n'ai lu que le premier message, il ya une faute :

Une conjecture, c'est une proposition à laquelle on ne peut répondre que par "vrai" ou "faux".

On passera outre cette erreur.
Conjecture = proposition que l'on soupçonne d'être vraie, dont on ne connaît aucune preuve (mais on ne sait pas si elle est vraie, il est tout à fait possible de la réfuter).

Le 29 juin 2020 à 16:51:24 canardpecheure a écrit :

Le 29 juin 2020 à 16:34:00 Cornettotrilogy a écrit :

Le 29 juin 2020 à 15:53:37 sinusPERIODIQUE a écrit :

Le 29 juin 2020 à 14:57:50 Yang_Mill a écrit :
Ah mais c'est sympa ici je m'installe on vient de m'envoyer le lien

Je savais pas qu'Euler avait trouvé que la somme valait π²/6 après avoir fait le calcul à la main, j'aurais cru qu'il était tombé dessus sans s'y attendre au détour d'une intégrale

C'est bien ce genre de topic où on apprend des choses, pour l'instant les seules topics maths qui fonctionnent c'est la loi de Pareto appliquée à Tinder donc tu augmentes conséquemment le niveau déjà

Pour tirer un peu la couverture vers moi, la conjecture de Riemann a peut être des applications en mécanique quantiques car les zéros de la fonctions seraient les valeurs propres d'un certain hamiltonien, ça s'appelle la conjecture d'Hilbert-Polya

Allez sweet

Bah non il a pas sorti le pi²/6 de son cul

Il l'a trouvé en extrapolant le théorème de d'Alembert-Gauss à la fonction sinus cardinal

Oui disons que, Haut phasme, tu confirmes indirectement mon propos en disant "matheux=très intelligent". Je pense au contraire que les maths sont accessibles à n'importe qui ayant une intelligence normal. En revanche, ce qui est moins accessible éventuellement, c'est la discipline que cette matière demande pour progresser. Là c'est clair que tout le monde n'aura pas la même patience. Et c'est parfois frustrant de coincé sur une définition, ou galérer à appliquer un théorème que l'on vient d'apprendre, et on a vite fait de se sentir "nul", mais il faut prendre la chose autrement : toute discipline difficile demande un travail à la démesure de sa difficulté, si ça veut dire quelque chose Je pense que dans la vie, il faut avant tout croire en sa réussite, et dés lors, tout est possible. Se dire que c'est trop dur, c'est se posé des limites que personnes ne devraient se poser. J'aime beaucoup la phrase "ils ne savaient pas que c'était impossible, alors ils l'ont fait" de Mark Twain. Espérons qu'un jour elle s'applique à l'hypothèse de Riemann

Bonne réflexion, tu as déjà pensé à t'orienter vers l'enseignement ? On a besoin de plus de gens comme toi dans l'éducation

J'y ai déjà pensé mais je suis plus attiré par la recherche pure je pense. Surtout que j'ai pas forcément autant de patience avec les humains qu'avec les maths, mais c'est une autre histoire Mais je considère que l'éducation n'est pas forcément le point fort de nos sociétés même si, heureusement, il y a quand même une base plus ou moins solide. Mais je pense que c'est un élément essentiel pour qu'un système dure sur le long terme. C'est triste mais l'école aujourd'hui n'est malheureusement pas adaptée à tout le monde, et est parfois source de plus d'angoisse que d'épanouissement. Le simple fait que on encourage le côté "l'école est obligatoire bougez vous vite" dés qu'on est petit plutôt que de sensibiliser les gosses au plaisir du savoir et de la connaissance, pour moi c'est faire faux, mais c'est des questions compliquées et les maths au moins apportent des certitudes, c'est rarement le cas en sciences humaines.

Merci aux khey pour les corrections, tout khey ayant une correction qui lui semble nécessaire à proposer est évidemment le bienvenu sur ce topic qui a pour seule vocation de partager un maximum de connaissance sur un sujet que les gens n'aborderaient pas en temps normal !

Le 29 juin 2020 à 17:18:51 LastikotFree a écrit :
J'apprécie ton courage, ta passion et tes connaissances kheyou mais même si j'ai essayé de suivre je t'avoue qu'a un moment j'ai laché ... Les maths j'ai du mal des que ca devient trop théorique ...

Mais je salue le topic

Merci khey et ne t'inquiète pas pour ça, il y a vraiment pas mal d'info à comprendre, c'est tout à fait normal que ça ne vienne pas d'un coup ! Ca me fait plaisir que des gens se lancent malgré l'appréhension que les maths suscitent chez les non-passionnés.

Le 29 juin 2020 à 17:23:47 Segylmund a écrit :
En 1976 des chercheurs de l'université de Calgary ont exhibé un polynôme du degré 10 en 26 variables dont les évaluations en des t-uplets d'entiers étaient toujours des nombres premiers.

On sait par exemple qu'il n'existe pas de polynôme en une variable qui puisse donner une liste de nombre premier si il a un argument entier. Mais la question se posait pour des polynômes en plusieurs variables.

Les chercheurs ont également observé que plus on montait le degré du polynôme, plus le nombre de variables baissait, mais que plus on diminuait le nombre de variables et plus le degré augmentait.

Bref c'est résultat rigolo qui nous dit que finalement les nombres premiers ne sont pas si aléatoires que ça.

Tout à fait, c'est d'ailleurs à cet exemple que je pensais quand je mentionnais les formules existantes dans le premier poste. Cette formule est tout simplement monstrueuse et totalement inutilisable en pratique, mais elle montre le côté déterministe des nombres premiers.

D'ailleurs, le fait qu'une formule exacte existe impliquant les zéros non triviaux de zêta prouvent que leur position est déterministe puisqu'elle est en faite totalement déterminée par les zéros de la fonction. Au même titre que la partie réelle des zéros de zêta est totalement déterminée par la distribution des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann correspond d'ailleurs a une distribution finalement très lisse.

et si je me souviens bien, Alan Turing, père de l'informatique moderne, et casseur du code allemand durant la seconde guerre mondiale, avait à l'origine créé sa machine de Turing pour trouver un zéro hors de la droite et montrer ainsi que l'hypothèse est fausse. La suite, vous la connaissez

La "machine de Turing" peut représenter plusieurs choses. D'abord il y a cette machine théorique qui est juste une expérience de pensée, un tête de lecture avec des états et un ruban de longueur infinie. Cette machine de Turing n'a jamais été construite par Turing et ne présente à peu près aucun intérêt pratique. C'est juste un truc qui permet de faire des raisonnements théoriques. Ce n'est pas l'ancêtre de l'ordinateur.

L'autre "machine de Turing" c'est celle construite par Turing et tout son équipe pour essayer de casser le code des allemands, mais on est loin d'un ordinateur ou d'une machine capable d'effectuer des calculs tels quels.

Bref, Turing n'a pas crée sa machine (peu importe de laquelle on parle) avec l'hypothèse de Riemann en tête. En revanche il est tout à fait possible qu'il ait envisagé la création/utilisation d'ordinateurs pour trouver des zéros non triviaux de zeta mais ça n'a pas grand chose à voir avec les machines de Turing.

Ah et si tu veux faire de la recherche je te conseil fortement de t'aménager une porte de sortie, genre agrégation ou travailler en entreprise. La recherche académique est très bouchée en France (et ailleurs) en ce moment.