[MATH] La célèbre hypothèse de Riemann expliquée aux khey

Version un peu plus aérée
Salut à tous!

En lisant les topics du khey astrophysicien dont le nom m'échappe - topics passionnants que je recommande à tout khey curieux - j'ai décidé moi aussi de faire un topic pour tenter de vous partager ma passion pour les mathématiques et plus précisément, la théorie des nombres.

Je suis à peu près certain qu'un topic sur les maths aura probablement moins de succès qu'un topic sur la physique, la raison étant celle-ci : il est plus "facile" (en réalité ça n'a rien de simple) de vulgariser la physique, qui, bien qu'elle s'appuie sur les maths, se donne pour mission de décrire des phénomènes très concrets.

Les maths, elles, et encore plus lorsque l'on parle de maths pures comme ça sera le cas ici, sont difficiles à expliquées sans passer par des concepts qui peuvent se révéler parfois très abstraits. Mais la physique ne manque pas, elle non plus, de concepts abstraits.

Les khey curieux connaissent probablement la célèbre mécanique quantique et ses drôles de concepts extrêmement contre-intuitifs qui s'appuient essentiellement sur une vision probabiliste du monde.
Du coup, si l'on peut vulgariser ça, alors pourquoi pas les mathématiques ?
Je vais donc tenter, avec humilité et sans prétendre moi-même connaitre un tel problème en profondeur, de vous expliquer la célèbre et sources de nombreux fantasmes, celle que l'on désigne parfois comme le graal des mathématiques, la seule, l'unique : l'hypothèse de Riemann.

Je vais, pour les plus courageux d'entre vous, tenter de ne pas délaisser l'aspect mathématique du problème, tout en présentant des explications les plus claires possibles, ne nécessitant pas de connaître les maths en jeux pour être comprises. Je vais écrire ça en plusieurs messages, car mine de rien, il y a de la matière.

Pour les plus ambitieux, sachez que quiconque résoudra le problème se verra offrir un million de dollars et une gloire mathématique éternelle. Donc si savoir quel est le moyen le plus difficile de gagner 1 million vous intéresse, vous avez frappé à la bonne porte

Commençons par un peu de précision. Ce qu'on appelle hypothèse est en réalité, au sens mathématique, une conjecture. Une conjecture, c'est une proposition à laquelle on ne peut répondre que par "vrai" ou "faux". Bien sûr, de telles réponses s'appuient toujours sur des démonstrations.

Il est temps d'introduire le sujet centrale de cette hypothèse : les nombres premiers. Je vais y aller progressivement.
Un nombre premier est un nombre entier qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui même. Ces nombres ont fascinés les mathématiciens depuis des millénaires. Et pour cause, ils sont aux mathématiques (à l'arithmétique plus précisément) ce que les quarks sont à la physique : des briques élémentaires, indivisibles.

En effet, les nombres entiers, ou nombres naturels (1, 2, 3, 4, ...) peuvent tous être écrit comme un unique produit (multiplication) de nombres premiers. L'unicité est importante, car elle explique pourquoi 1 n'est pas un nombre premier. Si il en était un, l'unicité ne serait plus conservée, car il existerait une infinité de façons d'écrire un nombres comme un produit de nombres premiers (toute puissance entière de 1 vaut 1). Dés lors, on comprend que ces nombres façonnent l'arithmétique telle qu'on la connait.

Voici les premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc...

Les premières décompositions des nombres entiers qui ne sont pas premiers : 4=2*2, 6=2*3, 8=2*2*2, 9=3*3, etc... Comme vous le voyez, un nombre premier peut réapparaitre plusieurs fois dans une même décomposition, pas de soucis avec ça, mais je le répète, chaque produit est unique.

L'un des tout premiers à s'intéresser à ces nombres, c'est Euclide, qui grâce à une démonstration qui mêle simplicité et élégance, prouve que les nombres premiers sont en quantité infinie. Mais il constate également quelque chose de très mystérieux : il semble n'avoir aucune loi régissant l'apparition de ces nombres.

Et c'est ce chaos apparent au sein des nombres premiers qui les rendra si fascinants aux yeux de la communauté mathématique. Il faut savoir que on peut parfois lire que les nombres premiers sont aléatoires, mais c'est faux, ils sont parfaitement déterministes. Il existe même des formules permettant de trouver tous les nombres premiers.

Seulement voilà, elles sont inutilisables et la plupart s'appuient sur le principe d'un autre grec célèbre : le crible d'Eratosthène. Cette méthode consiste à prendre une table de nombre (par exemple jusqu'à 100), puis l'on commence par biffer chaque multiple de 2, puis chaque multiple de 3, puis chaque multiple de ... jusqu'à qu'il ne reste plus aucun nombre divisible, et donc, qu'il ne reste plus que des nombres premiers. Mais dis comme ça, on se rend aussi compte du côté bricolage de cette méthode Nous n'avons donc aucune formule exacte et utilisable en pratique nous permettant de déterminer à l'avance si un nombre n est premier ou non.

Et cela vaut tout aussi bien pour la factorisation.
La factorisation, c'est prendre un nombre entier (éventuellement une expression algébrique, mais ça ne nous intéresse pas encore) et le transformer en un produit (multiplication). Et ce produit, on sait que, si on le factorise au maximum, ne sera constitué que de facteurs premiers, le nombre de fois où chaque facteur (nombre) apparait n'étant pas important, comme dit précédemment.

Compte tenu de la difficulté que l'on a pour identifié un nombre premier (bien sûr de nos jours, on parle de nombres premiers immenses, car on en connaît pas mal) vous pourrez aisément comprendre pourquoi il est tout aussi dur, voir pire encore, de déterminer les facteurs premiers qui composent un nombre.

Cette difficulté est d'ailleurs au centre du fameux système de sécurité RSA. Ce système est codé par de très grands nombres qui admettent deux facteurs premiers, et il s'agit alors de trouver ces deux facteurs, ce qui devient très rapidement proche de l'impossible, tant les nombres utilisés sont grands.

Voilà, je m'arrête là et je me lance rapidement dans la suite pour éviter de faire un trop gros pavé (c'est déjà le cas ). Et puis comme j'ai dis, il faut y aller progressivement, la difficulté va augmenter, même si encore une fois, je ferais mon maximum pour être clair et concis.

J'espère que le sujet intéressera les khey, et tous ceux qui d'avance cracheront sur le topic ou les mathématiques, je n'ai pour vous que 4 mots : paix sur vous néanmoins.

Le 28 juin 2020 à 19:50:45 NABESHlN a écrit :
T'as cru qu'on allait lire un putain de pavé alors que eljj explique tout bien mieux et en vidéo ?

L'idée, c'est d'aller plus loin que ça. Je ne suis pas uniquement ici pour vous faire comprendre des maths abstraites, mais également pour tenter de vous en communiquer le mieux possible toute la beauté. Et l'hypothèse de Riemann n'en manque pas.

La suite arrive bientôt.

Suite

Je précise encore que chaque nombre premier, excepté 2, est impair.
Vous n'êtes sûrement pas sans savoir que ces nombres sont l'objets de pas mal de conjectures ouvertes que beaucoup considèrent encore comme totalement hors d'atteintes.
L'une d'elle est la célèbre conjecture de Goldbach, qui postule que tout nombre entier pair (donc supérieur ou égal à 4, 2 étant premier) peut s'écrire comme une somme (addition) de deux nombres premiers.

Si l'on fait des essais pour des nombres de plus en grand, on remarque volontiers que le nombres de possibilités augmentent, sans pour autant pouvoir prouver qu'il existe toujours au moins une possibilité. Cette conjecture donne un avant goût de la difficulté auquel les mathématiciens font face lorsqu'ils traitent de ces nombres. Avouons le, un enfant de 12 ans pourrait comprendre cette conjecture.

Mais la beauté de la théorie des nombres, c'est aussi sa propension à créer de la complexité à partir de concept que l'on pourrait, en tant que "profane", penser comme étant simples.

Intéressons nous maintenant aux méthodes mises en oeuvre pour comprendre ces nombres. On fait un bond dans le temps et on arrive à l'époque du célèbre mathématicien Gauss. Sachant que les questions sur la répartition de ces nombres a, entre temps, avancé, mais j'y reviendrais après.

Gauss est un génie des maths. Très jeune, il se passionne pour celles-ci. A 15 ans, peu de temps après avoir reçu une table de nombres premiers, il décide de prendre le problème de leur répartition sous un angle assez nouveau. Plutôt que de se fatiguer à résoudre la question de trouver comment prédire le n-ième nombre premier, il décide d'en faire un dénombrement. On définit alors la fonction que l'on note pi(x) (se lit "pi de x", il n'y a pas de rapport avec le nombre pi).

Mais d'abord, c'est quoi une fonction ?
Une fonction peut être vue comme une sorte de machine, on y introduit quelque chose, et la machine nous renvoie un autre quelque chose. Ici, pi(x) est la fonction qui dit combien de nombres premiers sont inférieures, ou égales, à la quantité x. Pour être concret, on introduis par exemple le nombre 100 et l'on a pi(100)=25, car il existe 25 nombres premiers inférieurs à 100.

Si maintenant on décide de faire un graphique des différentes valeur de pi en fonction de x, on obtiendra une fonction dites "en escalier". En effet, à chaque nombre premier sur l'axe x (l'axe dont le sens positif est orienté vers la droite) la fonction saute de 1 sur l'axe y (l'axe dont le sens positif est orienté vers le haut). Ainsi, la fonction reste constante lorsqu'aucun nombre premier n'apparait, ce qui finalement, lui donne cette allure d'escalier.

Mais Gauss, lui, ne s'arrête pas à cette forme d'escalier. Il représente cette fonction pour un bon nombre de valeurs et se rend compte que, malgré cette forme, la fonction semble suivre de très près la courbe d'une autre fonction plus compliquée : l'intégrale logarithmique que l'on notera Li(x) .

Je ne vais pas expliquer cette fonction plus en détail, pour l'instant du moins. Sachant que tout khey ayant une question pertinente aura droit, dans la mesure du possible, à une réponse que j'espère pertinente . Ce qu'il faut garder en tête, c'est que Gauss décide alors de conjecturer que Li(x) est une excellente approximation de Pi(x). Ce qui se note pi(x)~Li(x). Formellement, cela signifie que si l'on prend la limite du quotient pi(x)/Li(x) lorsque x tend vers l'infini, alors la valeur de cette limite sera 1.

Intuitivement, il faut comprendre que lorsque x croît, les deux fonctions ont une "vitesse de croissance" très proche l'une de l'autre, ce qui mène à obtenir une limite égale à 1. Dés lors, on appel cela une approximation asymptotique, car plus on s'intéresse à des valeurs grandes de x, meilleurs est l'approximation, c'est à dire que l'erreur dans l'approximation décroit asymptotiquement.

Cette conjecture amène alors un espoir nouveau pour traiter des nombres premiers, car elle semble juste, mais personne ne sait comment le démontrer. Pour comprendre comment cela sera démontré, et surtout, pour comprendre l'hypothèse de Riemann elle même, je vais introduire dans mon prochain pavé la célèbre fonction zêta. Pour cela, il faudra revenir un peu en arrière dans le temps pour parler d'un autre monument des maths : Euler.

Ps :

Ceux qui veulent en savoir plus sur Li(x) : https://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_int%C3%A9gral

Je me lance tout de même rapidement sur ce qu'est Li(x).

Li(x), c'est une fonction, comme je le disais, un peu compliquée, que l'on définit par une intégrale. Elle ressemble à ça :
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4c8ab337b3d81c6eecf784ee8e03cd7238c3671

A la différence près que, en théorie des nombres, la borne inférieur n'est pas prise à 0 mais à 2, car elle utilisée exclusivement dans le dénombrement des nombres premiers, et dés lors il ne fait pas sens de prendre la borne à 0.

Ce qu'il faut savoir, c'est que ce n'est pas différent de la fonction pi(x) dans l'idée. C'est le même principe, seulement ici, la variable est la borne supérieur de l'intégrale, et une fois la valeur x choisie, on calcule cette intégrale qui nous renvoie une valeur, et Gauss a donc conjecturé que cette valeur, pour un même x, est toujours très proche de la valeur que renvoie pi(x). En particulier, elle est de plus en plus proche.

Pour ceux qui connaissent les intégrales, résoudre une telle intégrale revient à trouver une primitive de la fonction sous le signe d'intégration. Or, 1/ln(z), où ln désigne le logarithme naturel, n'admet pas de primitive élémentaire. Cette intégrale est donc résolue de façon numérique. Mais ça, c'est vraiment pour ceux qui veulent aller plus loin, comme j'ai dis, ce n'est pas forcément utile à la compréhension pour la suite.

Bonne initiative

Quelques remarques :

Gauss décide alors de conjecturer que Li(x) est une excellente approximation de Pi(x)

Il me semble que la conjecture de Gauss c'est pi(x) ~ x/log x. L'approximation avec le log intégral est due à Dirichlet je crois (démontrée et améliorée par Hadamard et La Vallée Poussin)

c'est à dire que l'erreur dans l'approximation décroit asymptotiquement.

Pas vraiment, les deux fonctions ont même tendance à s'éloigner de temps en temps, puis se rapprocher, l'une passe au dessus de l'autre etc. En plus l'erreur est un peu chaotique
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+abs%28pi%28x%29-li%28x%29%29+where+100000%3Cx%3C1000000
Au mieux on a une bonne idée de l'ordre de grandeur de pi(x).

Bon en écrivant, comme prévu, je prend la mesure de la difficulté que représente l'explication d'un tel problème sans délaisser trop de maths, tout en ne rentrant pas trop dans les détails techniques.

Donc comme je le disais, il est maintenant temps de faire un bond dans le passé (c'est vrai quoi, qui a dit que le temps était linéaire ? Non je déconne, regardez ça avant Yang_mill du coup, le khey astrophysicien mentionné dans mon premier message ) et de parler d'un autre génie : Euler.

Nous sommes donc quelques dizaines d'années avant la conjecture de Gauss. Euler décide de s'attaquer à un problème posé presque 100 ans avant lui. Je vais vous formuler le problème. Cela fait intervenir ce que l'on appel une somme infinie. Les sommes infinies, y en a des bonnes, et y en a des mauvaises.

Je m'explique. Lorsque l'on somme une infinité de valeur, on serait tenté de croire que le résultat obtenu sera toujours l'infini. Or, ceci est faux. Et une telle somme qui renvoie l'infini comme résultat n'est tout simplement pas définie en math, car elle n'a pas de sens. C'est ce qu'on appelle un somme (ou série) divergente.

A l'inverse, une série convergente est une série qui, comme son nom l'indique, converge vers un nombre. Comment est-ce possible dans le cas d'une série infinie ? Et bien, si on fait la somme de terme de plus en plus petit, intuitivement, on comprend que à force de se rapprocher de 0, les termes deviendront négligeables, et dés lors, il sera possible (mais pas toujours, la convergence est une question parfois extrêmement compliquée, vous le verrez plus tard) que la somme "tende" vers une valeur. C'est à dire qu'elle ne lui ai, si on fait le calcule formellement, jamais égale. Mais devient de plus en plus proche. Et donc, lorsque l'on fait la somme d'une infinité de terme, l'égalité est vraie.

Le problème auquel Euler fait face, c'est trouver la valeur de cette somme :
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b42204c71e0c7128ff6f317abcb1deea9c6a946
La lettre grecque la plus à gauche, c'est sigma, cela définit l'opération "somme". C'est important car je définirais plus tard le symbole de l'opération "produit". Ca se lit "somme des 1/n^2 pour n allant de 1 jusqu'à l'infini".

Euler calcule alors la somme à la main. Il faut savoir que la somme converge très lentement, c'est à dire qu'il faut calculer un grand nombre de terme pour s'approcher de la valeur de la série, ce qui n'est pas toujours le cas. Mais Euler, calculer, ça ne lui fait pas peur, et il calcule la réponse avec une précision de 6 chiffres après la virgule. Il trouve donc que la somme vaut environ 1.644 et des poussières. Bon, Euler c'est pas un gars comme les autres, et lui, il remarque un truc : cette somme est en fait exactement égale à pi^2/6 (le nombre pi) et fini par le démontrer rigoureusement quelques années plus tard. Et bien entendu, c'est un véritable tour de force, et probablement que personne ne s'attendait à voir apparaitre le nombre Pi dans une telle somme.

Euler, lui, il décide de généraliser cette somme. Au lieu que l'exposant de n soit 2, il décide d'en faire une fonction de s et la note Zeta(s). Cette fonction associe à chaque s, la somme des 1/n's. Euler étudie cette fonction et remarque d'abord que :
- Elle n'est valable que lorsque le nombre s est plus grand que 1. Lorsque la valeur de s est inférieur ou égale à 1, la somme devient divergente et la réponse qu'elle nous renvoie est l'infini. Mais pour n'importe quel nombre s (et même nombres complexe mais j'y reviendrais) supérieur à 1, la fonction est bien définie et pour ceux que ça intéresse, plus s grandit, plus la fonction se rapproche de 1.
- Les valeurs paires de s s'écrivent toutes en fonction de Pi (rappelons que zeta(2)=pi^2/6)

Il essayera également de trouver les valeurs exactes de la somme pour les valeurs impaires, mais c'est aujourd'hui un problème toujours ouvert, et ce depuis plus de 200 ans, et ça n'a pas d'importance à priori dans notre problème.

Il va également découvrir autres choses, qui, cette fois-ci, va faire avancer la question des nombres premiers.

Le 28 juin 2020 à 21:12:59 DonDoritos9 a écrit :
Bonne initiative

Quelques remarques :

Gauss décide alors de conjecturer que Li(x) est une excellente approximation de Pi(x)

Il me semble que la conjecture de Gauss c'est pi(x) ~ x/log x. L'approximation avec le log intégral est due à Dirichlet je crois (démontrée et améliorée par Hadamard et La Vallée Poussin)

c'est à dire que l'erreur dans l'approximation décroit asymptotiquement.

Pas vraiment, les deux fonctions ont même tendance à s'éloigner de temps en temps, puis se rapprocher, l'une passe au dessus de l'autre etc. En plus l'erreur est un peu chaotique
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+abs%28pi%28x%29-li%28x%29%29+where+100000%3Cx%3C1000000
Au mieux on a une bonne idée de l'ordre de grandeur de pi(x).

Khey de qualité, merci pour les précisions. J'essaye effectivement de lisser un peu tout pour que ça reste compréhensible pour un maximum de gens. Et pour les questions d'histoire autre que purement mathématique, il est effectivement possible que je me trompe de temps à autres sur des détails, toutefois, j'ai décidé de retenir la fonction Li plutôt que x/log(x) puisqu'elle intervient directement dans la motivation de Riemann a formulé sa conjecture, et on sait que c'est une meilleure approximation que x/log(x), donc dans un soucis de clarté et pour ne pas embrouillé tout le monde j'ai juste gardé Li(x), mais il y a de très grandes chances que tu aies raisons.

Encore une fois, mes excuses d'avance pour d'éventuelles imprécisions historiques.

Mais Euler, calculer, ça ne lui fait pas peur, et il calcule la réponse avec une précision de 6 chiffres après la virgule.

J'apporte une petite précision. Ça ne dérangeait pas Euler car il était malin le bougre !
Euler connaissait pléthore de méthodes permettant d'accélérer la convergence d'une série, notamment ce qu'on appelle aujourd'hui les formules d'Euler-MacLaurin.

Avec ces formules on peut calculer 10 décimales de zeta(2) en une dizaine de termes seulement, contre des milliers avec la formule initiale .