[Math] Ces démonstrations mathématiques PAZifient le forom :ouch:

Le 28 juillet 2021 à 14:49:42 :

Le 28 juillet 2021 à 14:45:16 :

Le 28 juillet 2021 à 14:35:23 :
Bon je connais pas la théorie des développements analytiques, donc je vais pas trop parler. Mais la propriété "une fonction polynomiale est nulle sur un ouvert donc elle est nulle partout est fausse, tu prends la fonction identité sur R muni de la distance triviale. Elle est nulle sur {0}, qui est un ouvert de R, et polynomiale.

T'es mignon, t'as jamais remarqué que dans ton cours sur le calcul différentiel on se plaçait toujours dans un espace vectoriel normé ? Évidemment que ça ne va pas bloquer quelque part si tu construit la dérivée avec une certaine structure (celle d'EVN) puis que tu utilises ensuite une toute autre structure (un espace discret)

T'as vraiment besoin qu'on te précise la topologie sur R quand on te dit qu'un polynôme nul sur un ouvert (non vide hein ) est identiquement nul ?

pour le calcul diff c'est la complétude de R et C avec la distance canonique le pont clé non ?

Tout dépend de ce que tu appelles point clé. La structure d'EV est très importante, sinon on ne peut pas définir [f(x+h*v)-f(x)]/h, avant même de passer à la limite et d'utiliser la complétude. L'utilisation d'une norme est aussi très importante pour parler de limites, de petit o etc. Ceci dit toutes les normes sont équivalentes en dimension finie, donc y a un côté "intrinsèque", mais il faut quand même prendre une topologie issue d'une norme.

Petite démo débile pour la route :

Regardons les fonctions f_n= (1/n)*1_[0;n] où 1_A est l'indicatrice de A. On voit que (f_n)_n ne vérifie pas les conclusions du théorème de convergence dominée, c'est donc que sup f_n est non intégrable. Or, l'intégrale de sup f_n vaut justement 1+1/2+1/3+... la série harmonique diverge donc.

Bon je te fais un mauvais procès : utiliser des outils avancés pour montrer des choses déjà connues dans le cadre classique est sympa, ça montre l'intérêt de ces outils.

Mais dans tes démos j'ai le sentiment que tu refuses de poser le cadre dans lequel tu te places, et que tu prends pas la peine de citer les théorèmes et de poser les definitions.

Genre tu utilises la longueur d'un intervalle, puis tu l'utilises pour une union d'intervalles sans autre forme de procès. Puis tu utilises la propriété A inclus dans B l(A) <= l(B) (si je me trompe pas). Tu l'as démontré ça ?
On peut certes retrouver la démo derrière, mais ça tient de l'argument, des idées clé de la démo, pas de la démo complète

Le 28 juillet 2021 à 14:57:31 :

Le 28 juillet 2021 à 14:49:42 :

Le 28 juillet 2021 à 14:45:16 :

Le 28 juillet 2021 à 14:35:23 :
Bon je connais pas la théorie des développements analytiques, donc je vais pas trop parler. Mais la propriété "une fonction polynomiale est nulle sur un ouvert donc elle est nulle partout est fausse, tu prends la fonction identité sur R muni de la distance triviale. Elle est nulle sur {0}, qui est un ouvert de R, et polynomiale.

T'es mignon, t'as jamais remarqué que dans ton cours sur le calcul différentiel on se plaçait toujours dans un espace vectoriel normé ? Évidemment que ça ne va pas bloquer quelque part si tu construit la dérivée avec une certaine structure (celle d'EVN) puis que tu utilises ensuite une toute autre structure (un espace discret)

T'as vraiment besoin qu'on te précise la topologie sur R quand on te dit qu'un polynôme nul sur un ouvert (non vide hein ) est identiquement nul ?

pour le calcul diff c'est la complétude de R et C avec la distance canonique le pont clé non ?

Tout dépend de ce que tu appelles point clé. La structure d'EV est très importante, sinon on ne peut pas définir [f(x+h*v)-f(x)]/h, avant même de passer à la limite et d'utiliser la complétude. L'utilisation d'une norme est aussi très importante pour parler de limites, de petit o etc. Ceci dit toutes les normes sont équivalentes en dimension finie, donc y a un côté "intrinsèque", mais il faut quand même prendre une topologie issue d'une norme.

Petite démo débile pour la route :

Regardons les fonctions f_n= (1/n)*1_[0;n] où 1_A est l'indicatrice de A. On voit que (f_n)_n ne vérifie pas les conclusions du théorème de convergence dominée, c'est donc que sup f_n est non intégrable. Or, l'intégrale de sup f_n vaut justement 1+1/2+1/3+... la série harmonique diverge donc.

d'accord mais il y a des normes qui munissent R d'une structure pas complete (penser à des normes qui dilatent)

Le 28 juillet 2021 à 14:54:57 :
Jeancommutatif Bah bien sûr que ça colle pas, mais ce que ça montre c'est que dire que la démo est pazifiante parce que tu précises pas le cadre dans lequel tu te places est unvpeu bizarre. Surtout si tu cites le cadre de la prépa. C'est comme si tu disais que la démonstration du petit théorème de Fermat par le théorème de Lagrange est pazifiante ; elle est élégante, certes, mais ça demande un édifice théorique assez poussé pour le démontrer.

Trouver des démos pazifiantes niveau L1 en faisant appel à des outils de L3, c'est un peu comme être fier de défoncer les rats d'égout du niveau 1 après avoir battu le boss final

Mais enfin je te l'ai déjà dit que le truc de la prépa n'était qu'une BLAGUE
Je pensais que le deuxième poste sur Laurent Ruquier t'aurait mis là puce à l'oreille...

Et pour "pas préciser le cadre" c'est n'importe quoi. Tu critiques la démo parce qu'on y précises pas la topologie mais l'énoncé lui même ne la précise pas, et ça ne te pose pas de problème on dirait. De toute façon il existe une seule topologie compatible avec les structures de M_n(C) est c'est la topologie induite par n'importe quelle norme. Je me répète : est-ce qu'il faut vraiment qu'on te précise la topologie sur R dans un exercice classique sur une étude de fonctions réelles ? Non, et c'est pareil ici.

Ce que je suis tout à fait près à t'accorder c'est que les démonstrations que j'ai écrites ici sont très (trop) concise, et qu'il faudrait les développer un peu pour dissiper tous les doutes des taupins, mais elle perdraient de leur éclat.

Le 28 juillet 2021 à 15:02:37 :
Bon je te fais un mauvais procès : utiliser des outils avancés pour montrer des choses déjà connues dans le cadre classique est sympa, ça montre l'intérêt de ces outils.

Mais dans tes démos j'ai le sentiment que tu refuses de poser le cadre dans lequel tu te places, et que tu prends pas la peine de citer les théorèmes et de poser les definitions.

Genre tu utilises la longueur d'un intervalle, puis tu l'utilises pour une union d'intervalles sans autre forme de procès. Puis tu utilises la propriété A inclus dans B l(A) <= l(B) (si je me trompe pas). Tu l'as démontré ça ?
On peut certes retrouver la démo derrière, mais ça tient de l'argument, des idées clé de la démo, pas de la démo complète

ça manque effectivement de rigueur, mais c'est un style d'écriture, je pense pas que l'idée soit d'etre aussi exhaustif qu'un bourbaki !

Le 28 juillet 2021 à 14:53:17 :
bon sinon désolé l'op je ne connais pas de démo pazifiante donc je ne peux pas trop participer à tes topics (déjà vu ce topic il me semble) mais regrouper des démo alternatives aux preuves classiques me semble être un projet fun et louable

Aucun soucis, merci à toi et à tes contributions sur le topoc

Le 28 juillet 2021 à 15:04:17 :

Le 28 juillet 2021 à 14:57:31 :

Le 28 juillet 2021 à 14:49:42 :

Le 28 juillet 2021 à 14:45:16 :

Le 28 juillet 2021 à 14:35:23 :
Bon je connais pas la théorie des développements analytiques, donc je vais pas trop parler. Mais la propriété "une fonction polynomiale est nulle sur un ouvert donc elle est nulle partout est fausse, tu prends la fonction identité sur R muni de la distance triviale. Elle est nulle sur {0}, qui est un ouvert de R, et polynomiale.

T'es mignon, t'as jamais remarqué que dans ton cours sur le calcul différentiel on se plaçait toujours dans un espace vectoriel normé ? Évidemment que ça ne va pas bloquer quelque part si tu construit la dérivée avec une certaine structure (celle d'EVN) puis que tu utilises ensuite une toute autre structure (un espace discret)

T'as vraiment besoin qu'on te précise la topologie sur R quand on te dit qu'un polynôme nul sur un ouvert (non vide hein ) est identiquement nul ?

pour le calcul diff c'est la complétude de R et C avec la distance canonique le pont clé non ?

Tout dépend de ce que tu appelles point clé. La structure d'EV est très importante, sinon on ne peut pas définir [f(x+h*v)-f(x)]/h, avant même de passer à la limite et d'utiliser la complétude. L'utilisation d'une norme est aussi très importante pour parler de limites, de petit o etc. Ceci dit toutes les normes sont équivalentes en dimension finie, donc y a un côté "intrinsèque", mais il faut quand même prendre une topologie issue d'une norme.

Petite démo débile pour la route :

Regardons les fonctions f_n= (1/n)*1_[0;n] où 1_A est l'indicatrice de A. On voit que (f_n)_n ne vérifie pas les conclusions du théorème de convergence dominée, c'est donc que sup f_n est non intégrable. Or, l'intégrale de sup f_n vaut justement 1+1/2+1/3+... la série harmonique diverge donc.

d'accord mais il y a des normes qui munissent R d'une structure pas complete (penser à des normes qui dilatent)

Tu as raison, en fait il y a plein de propriétés très utiles dans l'utilisation de R ou C comme corps de base. Par exemple si tu veux faire de l'analyse sur les p-adiques (des corps complets qui contiennent Q et munis d'une valeur absolue) tu vas avoir un certain nombre de difficultés parce que ces corps ne sont pas archimédiens, et ça c'est problématique.

Le 28 juillet 2021 à 15:17:06 :
Ah ouais bien vu mais pourquoi pour la série harmonique j'ai dit de la merde mais alors pourquoi on se fait chier avec des démos compliquées en prépa ?

Les démo ne sont pas forcément plus compliquées, juste plus longues. Mais c'est dû, selon moi, à plusieurs choses :
-Les limitations du programme, le critère de Cauchy n'est même plus au programme de prépa je crois parce que sinon il suffit de dire S_2n-S_n >=n*(1/2n)=1/2 donc la série diverge.
-La démo que j'ai donnée ici est assez astucieuse, elle utilise de façon non triviale des propriétés des séries et peut embrouiller un certain nombre d'étudiants. J'ai déjà donné des cours sur les séries et je me contente aussi de la démo classique avec le S_2n-S_n >=n*(1/2n)=1/2.
-On veut souvent démontrer dès le début du cours que la série harmonique diverge, parce que c'est un résultat frappant et c'est l'archétype de la série dont le terme général tend vers 0 mais diverge quand même. On est donc encore limité dans les outils qu'on peut employer.

Bah, qu'on puisse ne pas préciser le cadre de la topologie de Mn, certes, je reconnais que mon argument a une part de mauvaise foi À la limite ta démo de la densité de GLn en disant qu'une fonction polynomiale qui s'annule sur un ouvert est nulle partout me convaint, mais démontrer cette propriété (ce qui se fait dans le cadre du programme de prépa d'ailleurs, même si je sais que c'est pas ton but), c'est plus long que démontrer directement la propriété. Donc certes c'est sympa, mais c'est pas vraiment astucieux

Mais désolé, tes demonstrations sont trop concises ; si c'est pas évident ligne à ligne j'achète pas ; sinon il suffit de résumer les démos de prépas pour être pazifiant Ce que tu donnes dans le cas de l'indénombrabilité de R c'est l'idée de la démonstration, pas la démonstration. Là ton utilisation de la notion de longueur est trop bancale pour être mathématique Utilise la mesure de Lebesgue tant qu'à faire
L'idée est certes sympa, et originale par rapport à la diagonale de Cantor, mais tant qu'à utiliser des trucs avancés fais-le proprement

Le 28 juillet 2021 à 15:28:16 :
But de ton topique?

Pazifier le forum par la mathématique

Le 28 juillet 2021 à 15:27:04 :
Bah, qu'on puisse ne pas préciser le cadre de la topologie de Mn, certes, je reconnais que mon argument a une part de mauvaise foi À la limite ta démo de la densité de GLn en disant qu'une fonction polynomiale qui s'annule sur un ouvert est nulle partout me convaint, mais démontrer cette propriété (ce qui se fait dans le cadre du programme de prépa d'ailleurs, même si je sais que c'est pas ton but), c'est plus long que démontrer directement la propriété. Donc certes c'est sympa, mais c'est pas vraiment astucieux

Bah une démonstration classique est d'étudier det(tA+(1-t)Id), de remarquer que c'est un polynôme en t, non identiquement nul et donc possédant un nombre fini de racines, et donc qu'il existe un voisinage (épointé) de A sans racine. Ça prend aussi un peu de temps de démontrer qu'un polynôme n'a qu'un nombre fini de racines, même si c'est moins long.

On peut aussi s'en sortir en écrivant une matrice comme produit de matrices élémentaires convenablement choisies, mais faut montrer que la décomposition existe, ce qui prend aussi du temps.

Mais désolé, tes demonstrations sont trop concises ; si c'est pas évident ligne à ligne j'achète pas ; sinon il suffit de résumer les démos de prépas pour être pazifiant Ce que tu donnes dans le cas de l'indénombrabilité de R c'est l'idée de la démonstration, pas la démonstration. Là ton utilisation de la notion de longueur est trop bancale pour être mathématique Utilise la mesure de Lebesgue tant qu'à faire
L'idée est certes sympa, et originale par rapport à la diagonale de Cantor, mais tant qu'à utiliser des trucs avancés fais-le proprement

Entendons nous sur notre désaccord, tu les trouves trop concises, moi pas, mais c'est une histoire de gouts. Une démonstration mathématique est un ensemble de mots/gestes/dessins etc... qui sert à convaincre son interlocuteur qu'il existe une preuve formelle du résultat. Tout dépend de l'interlocuteur donc.

Mais mon utilisation de la longueur n'est pas bancale, la longueur d'un segment [a;b] c'est |b-a|, je vais pas m'amuser à le réécrire, pareil pour I inclus dans J implique L(I) =< L(J), toujours pour des intervalles. Si tu veux une autre façon de faire, un ensemble A de R est dit Riemann-mesurable ssi son indicatrice est Riemann intégrable. On définit alors la longueur de A comme l'intégrale de sa fonction indicatrice.

Le 28 juillet 2021 à 15:29:09 :
SinusColbykeller La démo avec H_2n- H_n >= 1/2 est pas spécialement compliquée ; c'est la même idée que l'OP mais rédigé proprement

Pas vraiment, le H_2n- H_n >= 1/2 c'est une sommation par paquets, on montre directement que les sommes partielles augmentent plus vite que log_2(n), il n'y a que des manipulations finies. Dans la preuve que j'ai écrite ce qu'on utilise c'est une propriété spécifique à l'infini, notamment que c'est, en un certain sens, une solution de l'équation x+1=x.

Le 28 juillet 2021 à 15:31:56 :
Et pas besoin de Cauchy pour passer à la limite

Je le sais bien ça, et ce n'est pas ce que je dis. Je dis H_2n- H_n >= 1/2, donc la suite des sommes partielles ne vérifie pas le critère de Cauchy, donc la série diverge.

Sinon, une démo assez élégante que IN et IN^2 ont même cardinalité. On se contente d'injecter IN^2 dans IN (l'autre étant triviale). Pour cela on considère la fonction qui à un couple (n,m) d'entier associe 2^n.3^m.

2 et 3 étant premiers, le théorème fondamental de l'arithmétique assure que cette fonction est injective.

Le 28 juillet 2021 à 15:50:32 :
Sinon, une démo assez élégante que IN et IN^2 ont même cardinalité. On se contente d'injecter IN^2 dans IN (l'autre étant triviale). Pour cela on considère la fonction qui à un couple (n,m) d'entier associe 2^n.3^m.

2 et 3 étant premiers, le théorème fondamental de l'arithmétique assure que cette fonction est injective.

ok mais là on utilise le fait que double inj = bij, ce qui est complexe non ? autant faire la classique bijection (m,n)->2^m *(2n+1)

Le 28 juillet 2021 à 14:43:56 TheLelouch4 a écrit :
La démo de l'infinité des nombres premier par topologie est marrante aussi
https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9monstration_de_Furstenberg_de_l%27infinit%C3%A9_des_nombres_premiers

Salut Lelouch, eh bah y'a des matheux aujourd'hui

Elle est excellente la démo

Le 28 juillet 2021 à 15:50:32 :
Sinon, une démo assez élégante que IN et IN^2 ont même cardinalité. On se contente d'injecter IN^2 dans IN (l'autre étant triviale). Pour cela on considère la fonction qui à un couple (n,m) d'entier associe 2^n.3^m.

2 et 3 étant premiers, le théorème fondamental de l'arithmétique assure que cette fonction est injective.

Oui, c'est joli ça, d'ailleurs on peut pousser un peu plus loin en montrant que l'ensemble des polynômes à coefficients entiers a même cardinal que N, il suffit d'associer à a_0+ a_1 X + a_2 X^2 +... l'entier 2^(a_0)*3^(a_1)*5^(a_2) etc. En trafiquant un tout petit peut on montre que les algébriques sont dénombrables.

Au passage je trouve qu'il y a un tas de jolis démo sur les cardinaux :
-La démo classique de Cantor-Bernstein (qui permet de dire que A et B ont même cardinal s'ils s'injectent chacun l'un dans l'autre) est particulièrement belle.
-Les fonctions continues de R dans R ont même cardinal que R.
-ExE est de même cardinal que E s'il est infini (utilise l'équi-cardinalité de N et NxN).