[Maths] La géométrie derrière le jeu du Dobble

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Je crois que je vais retourner lire mes Cassini avant de réattaquer ce post

Le 08 novembre 2020 à 16:34:14 Punch8Ball a écrit :

Le 08 novembre 2020 à 16:28:05 Dagnyr a écrit :

Le 08 novembre 2020 à 16:23:13 Punch8Ball a écrit :
Je ne comprends pas pourquoi il n'existe que 8 points à l'infini pour les droites passant par l'origine ?

C'est parce qu'il n'existe que 8 droites passant par l'origine.
Pour voir ça, tu peux te dire que toute droite passant par l'origine est soit verticale, soit oblique/horizontale. Et si elle est oblique ou horizontale, elle passe forcément par un seul point de la deuxième droite verticale. Et cette deuxième droite verticale compte elle même 7 points.
Ça te fait donc 7 droites obliques/horizontale + 1 droite verticale, soit huit droites.

Ok mais quel problème se pose si deux droites passant par l'origine passent chacune par un point différent de la deuxième droite verticale ?

Deux droites qui ne sont pas identiques mais qui se croisent à l'origine ne peuvent pas aussi se croiser à l'infini, donc il faut qu'elles passent par des points différents à l'infini.

J'invoque ALEXANDRE

Le 08 novembre 2020 à 16:43:27 quisar a écrit :
Merci chef c’est propre mais j’ai pas trop compris l’histoire des 8 points à l’infini à la fin

Ok, donc apparemment ce point là est pas très clair. Je le réécrierai.

Ca ressemble un peu à Set ce jeu, et Set a ses propres maths intéressantes

https://press.princeton.edu/books/hardcover/9780691166148/the-joy-of-set

Le 08 novembre 2020 à 16:46:50 Charge_de_td a écrit :
J'invoque ALEXANDRE

J'ai rien compris et je deteste les maths mais je up pour ce topic qui a le mérite d'être intéressant

Merci pour l'effort

Le 08 novembre 2020 à 16:53:09 Certif2Moralite a écrit :
On fait comment du coup ?

On fait comment pour quoi ? Créer son jeu ? Ou comprendre pourquoi il y a 57 cartes ?

Le 08 novembre 2020 à 16:58:45 Spf1 a écrit :
Ca ressemble un peu à Set ce jeu, et Set a ses propres maths intéressantes

https://press.princeton.edu/books/hardcover/9780691166148/the-joy-of-set

Ça ressemble mais je pense que les maths sont un peu différentes. J'ai pas lu comment ils font dans le bouquin, mais j'aurais tendance à parier qu'on voit le jeu de set dans un espace affine (c'est à dire sans le côté projectif) à 4 dimensions sur F3 (c'est à dire sur une horloge à trois chiffres pour les nons matheux).
Ensuite je dirais que chaque carte représentera un point de cet espace et le but est d'identifier trois cartes "alignées" dans le lot. Je m'étais posé la question un jour du plus grand nombre de cartes qu'on peut étaler sans pouvoir trouver un seul set mais j'ai pas la réponse.

Le 08 novembre 2020 à 17:18:55 Punch8Ball a écrit :

Le 08 novembre 2020 à 17:09:23 Dagnyr a écrit :

Le 08 novembre 2020 à 16:53:09 Certif2Moralite a écrit :
On fait comment du coup ?

On fait comment pour quoi ? Créer son jeu ? Ou comprendre pourquoi il y a 57 cartes ?

L'auteur tu peux rentrer plus dans les détails du dernier pavé stp ?

Quand on dit "8" symboles, c'est 8 symboles sur la carte. Mais le nombre total de symbole dans le jeu est de 49 (nombre de points sur le plan) c'est bien ça ?

Attention de ne pas oublier les 8 points à l'infini pour lesquels il faut aussi choisir un symbole.

Mais en même temps puisqu'une droite du plan passe par 7 points, pourquoi une carte possède 8 et non 7 symboles ? Le point à l'infini correspond à un des symboles sur la carte ? (auquel cas on aurait plus de 49 symboles ?)

Exactement, le point à l'infini est un point par lequel passe la droite aussi.

Merci pour les questions. Je pense que je referai le topic un de ces quatre et ça me permet de savoir les points où j'ai pas été assez précis et ce qu'il faut que j'explique avec plus de détails.

Si j'ai tout bien compris, pour connaitre le nombre de cartes, il faut compter le nombre de droites dans cet espace.
On sait déjà qu'il y en a 8 qui passent par l'origine : 1 horizontale, 1 verticale et 6 obliques.
Et est logique qu'il en existe 7 autres qui passent par (0,1) (on retire les horizontales), puis 7 nouvelles par (0,2)... jusqu'à (0,6)
On en a donc déjà 8 + 7*6 = 50.
Pour les droites horizontales, on doit pouvoir rajouter celles qui passe par (1,0), (2,0)... (6,0) soit 6 nouvelles.
On arrive donc à 56 cartes.

Par contre, on a de la chance : on a 8 symboles par carte, et 8 points à l'infini. On peut donc rajouter une 57eme carte qui ne contient que les symboles à l'infini, car on est sur qu'il ne peut n'y en avoir qu'un par carte jusque là.

C'est bon ? En tout cas, merci, je me suis posé la question sur dooble, sans avoir trop cherché.

Le 08 novembre 2020 à 17:34:11 Punch8Ball a écrit :

Le 08 novembre 2020 à 17:24:10 Dagnyr a écrit :

Le 08 novembre 2020 à 17:18:55 Punch8Ball a écrit :

Le 08 novembre 2020 à 17:09:23 Dagnyr a écrit :

Le 08 novembre 2020 à 16:53:09 Certif2Moralite a écrit :
On fait comment du coup ?

On fait comment pour quoi ? Créer son jeu ? Ou comprendre pourquoi il y a 57 cartes ?

L'auteur tu peux rentrer plus dans les détails du dernier pavé stp ?

Quand on dit "8" symboles, c'est 8 symboles sur la carte. Mais le nombre total de symbole dans le jeu est de 49 (nombre de points sur le plan) c'est bien ça ?

Attention de ne pas oublier les 8 points à l'infini pour lesquels il faut aussi choisir un symbole.

Mais en même temps puisqu'une droite du plan passe par 7 points, pourquoi une carte possède 8 et non 7 symboles ? Le point à l'infini correspond à un des symboles sur la carte ? (auquel cas on aurait plus de 49 symboles ?)

Exactement, le point à l'infini est un point par lequel passe la droite aussi.

Merci pour les questions. Je pense que je referai le topic un de ces quatre et ça me permet de savoir les points où j'ai pas été assez précis et ce qu'il faut que j'explique avec plus de détails.

Ok donc le nombre total de symboles est de 57, parcontre je ne comprends pas pourquoi on a autant de cartes que de symboles, autrement dit autant de droites que de points ?

La première réponse, c'est que tu peux compter les droites dans cet espace comme l'a fait ton voisin du dessous.

Il y a une raison profonde pour laquelle on tombe sur le même résultat dans les deux cas, mais c'est difficile d'expliquer ça avec simplicité sans entrer beaucoup plus en détail dans la construction du plan projectif.

En gros, une autre manière de visualiser le plan projectif, c'est d'imaginer un espace en 3D, et chaque point du plan projectif correspond à une droite de l'espace passant par le point d'origine. Dans ce contexte, une droite du plan projectif correspond à un plan passant par le point d'origine dans cet espace en 3d. Et une fois qu'on a établi cette analogie, on peut se rendre compte que pour chaque plan passant par l'origine, il y a exactement une droite qui lui est orthogonale (perpendiculaire), et réciproquement.
Si ça t'intéresse, je peux essayer de te faire un dessin un peu plus tard.

Le 08 novembre 2020 à 17:36:52 ]-0-[ a écrit :
Si j'ai tout bien compris, pour connaitre le nombre de cartes, il faut compter le nombre de droites dans cet espace.
On sait déjà qu'il y en a 8 qui passent par l'origine : 1 horizontale, 1 verticale et 6 obliques.
Et est logique qu'il en existe 7 autres qui passent par (0,1) (on retire les horizontales), puis 7 nouvelles par (0,2)... jusqu'à (0,6)
On en a donc déjà 8 + 7*6 = 50.
Pour les droites horizontales, on doit pouvoir rajouter celles qui passe par (1,0), (2,0)... (6,0) soit 6 nouvelles.
On arrive donc à 56 cartes.

Par contre, on a de la chance : on a 8 symboles par carte, et 8 points à l'infini. On peut donc rajouter une 57eme carte qui ne contient que les symboles à l'infini, car on est sur qu'il ne peut n'y en avoir qu'un par carte jusque là.

C'est bon ? En tout cas, merci, je me suis posé la question sur dooble, sans avoir trop cherché.

Ouaip, c'est tout à fait ça
Bien vu pour la droite reliant les 8 points à l'infini, c'était le piège dans la question.

Très intéressant même si je ne suis pas sûr d’avoir tout compris le délire de géométrie projective. Notamment la raison pour laquelle il n’y a que 8 droites passant par l’origine.

Toutes les droites de la forme ax + by = 0 avec (a,b) ∈ ⟦0 ; 8⟧² devraient être valides, soit 64 combinaisons (moins les combinaisons qui se répètent bien entendu), non ?

Le 08 novembre 2020 à 18:22:03 Cornugon a écrit :
Très intéressant même si je ne suis pas sûr d’avoir tout compris le délire de géométrie projective. Notamment la raison pour laquelle il n’y a que 8 droites passant par l’origine.

Toutes les droites de la forme ax + by = 0 avec (a,b) ∈ ⟦0 ; 8⟧² devraient être valides, soit 64 combinaisons (moins les combinaisons qui se répètent bien entendu), non ?

Alors si tu veux passer par les équations tu peux. Par contre, tu as que 7 choix possibles pour a et b, il faut les prendre entre 0 et 6, vu que ce sont les seuls nombres qui apparaissent sur l'horloge. Donc ça te fait 49 possibilités. Mais il faut enlever le cas où a = b = 0, donc tu descends à 48 possitiblités.
Et ensuite, deux équations ax + by = 0 et a'x + b'y = 0 donnent la même droite si on obtient la deuxième en faisant a' = a*c et b' = b*c, en prenant c un nombre non nul sur l'horloge et en considérant la multiplication modulo 7 (c'est à dire comme on l'a définie sur l'horloge).
Du coup, il y a 6 choix possibles pour c et donc 6 équations de cette forme qui représentent la même droite.
Du coup il faut diviser le nombre d'équations qu'on avait trouvé, c'est à dire 48, par 6. Et on retombe sur 8. La beauté des mathématiques, où le même théorème s'exprime par la géométrie et par le calcul.

Le 08 novembre 2020 à 18:30:03 Dagnyr a écrit :

Le 08 novembre 2020 à 18:22:03 Cornugon a écrit :
Très intéressant même si je ne suis pas sûr d’avoir tout compris le délire de géométrie projective. Notamment la raison pour laquelle il n’y a que 8 droites passant par l’origine.

Toutes les droites de la forme ax + by = 0 avec (a,b) ∈ ⟦0 ; 8⟧² devraient être valides, soit 64 combinaisons (moins les combinaisons qui se répètent bien entendu), non ?

Alors si tu veux passer par les équations tu peux. Par contre, tu as que 7 choix possibles pour a et b, il faut les prendre entre 0 et 6, vu que ce sont les seuls nombres qui apparaissent sur l'horloge. Donc ça te fait 49 possibilités. Mais il faut enlever le cas où a = b = 0, donc tu descends à 48 possitiblités.
Et ensuite, deux équations ax + by = 0 et a'x + b'y = 0 donnent la même droite si on obtient la deuxième en faisant a' = a*c et b' = b*c, en prenant c un nombre non nul sur l'horloge et en considérant la multiplication modulo 7 (c'est à dire comme on l'a définie sur l'horloge).
Du coup, il y a 6 choix possibles pour c et donc 6 équations de cette forme qui représentent la même droite.
Du coup il faut diviser le nombre d'équations qu'on avait trouvé, c'est à dire 48, par 6. Et on retombe sur 8. La beauté des mathématiques, où le même théorème s'exprime par la géométrie et par le calcul.

Ok je pense que je vois l’idée, merci pour la réponse