[Math] Comment vous factorisez les polynômes de degrés 3 est plus ?

Le 10 octobre 2024 à 20:25:21 :
La factorisation des polynômes de degré 3 ou plus peut être plus complexe que pour les polynômes de degré 2. Il existe différentes méthodes pour factoriser les polynômes de degré supérieur. Voici un aperçu des étapes générales et des méthodes les plus courantes :

1. 1. 1. 1. **Recherche de racines évidentes (méthode d'essai-erreur ou méthode des racines rationnelles) :**

- Pour un polynôme de degré 3 (ou plus), la première étape consiste souvent à rechercher des racines évidentes en utilisant la **méthode des racines rationnelles**. Cela consiste à tester les diviseurs du terme constant et du coefficient du terme de plus haut degré dans le polynôme.
- Supposons que vous ayez un polynôme de la forme :
\[
P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0
\]
Vous pouvez tester les valeurs rationnelles de la forme \( \frac{p}{q} \), où \( p \) est un diviseur du terme constant \( a_0 \) et \( q \) est un diviseur du coefficient principal \( a_n \).
- Si vous trouvez une racine \( r \), cela signifie que \( x - r \) est un facteur du polynôme.

1. 1. 1. 2. **Division polynomiale ou division synthétique :**

- Une fois qu'une racine \( r \) est trouvée, vous pouvez effectuer une division polynomiale pour diviser le polynôme par \( x - r \), ce qui vous donne un quotient de degré inférieur.
- Par exemple, si \( P(x) = (x - r) Q(x) \), où \( Q(x) \) est un polynôme de degré 2 (si le polynôme initial était de degré 3).
- Vous pouvez ensuite factoriser ce polynôme de degré inférieur en utilisant les techniques classiques de factorisation (pour les polynômes de degré 2, la méthode du discriminant, par exemple).

1. 1. 1. 3. **Utilisation de formules spécifiques (pour les polynômes de degré 3) :**

- Pour les polynômes de degré 3, vous pouvez également essayer de factoriser en utilisant des formules spéciales. Par exemple, pour un polynôme cubique de la forme \( ax^3 + bx^2 + cx + d \), il existe des formules algébriques (comme la **formule de Cardan**) qui permettent de trouver les racines directement.
- Cela peut être plus compliqué, mais il s'agit d'une approche possible si les racines ne sont pas évidentes.

1. 1. 1. 4. **Facteur commun :**

- Parfois, il peut y avoir un **facteur commun** dans tous les termes du polynôme. Recherchez un facteur commun et divisez tout le polynôme par ce facteur.

1. 1. 1. 5. **Décomposition par regroupement des termes (parfois pour degré 4 et plus) :**

- Si le polynôme a un degré plus élevé, une technique possible est de **regrouper les termes** pour essayer de factoriser par morceaux.
- Par exemple, pour un polynôme de degré 4 comme :
\[
P(x) = x^4 + 2x^3 + x^2 + 2x
\]
Vous pouvez essayer de regrouper les termes :
\[
P(x) = (x^4 + 2x^3) + (x^2 + 2x) = x^3(x + 2) + x(x + 2) = (x^3 + x)(x + 2) = x(x^2 + 1)(x + 2)
\]

1. 1. 1. 6. **Théorème de Ruffini (pour des racines évidentes) :**

- Ce théorème est une méthode rapide pour diviser un polynôme par \( x - r \), une fois que vous avez trouvé une racine \( r \). Cela simplifie le calcul de la division.

1. 1. 1. Exemple : Factoriser un polynôme de degré 3

Prenons le polynôme :
\[
P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6
\]
1. **Cherchons les racines rationnelles** : Les diviseurs du terme constant (-6) sont \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \), et ceux du terme dominant (1) sont \( \pm 1 \). Essayons \( x = 1 \) :
\[
P(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0
\]
Donc \( x = 1 \) est une racine.

2. **Division du polynôme par \( x - 1 \)** (division synthétique ou longue). En divisant \( P(x) \) par \( x - 1 \), on obtient :
\[
P(x) = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)
\]

3. **Factorisation du polynôme quadratique** :
\[
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
\]

4. **Conclusion** :
La factorisation complète est donc :
\[
P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)
\]

1. 1. 1. 7. **Utilisation des identités remarquables :**

- Parfois, un polynôme peut être factorisé en utilisant des identités remarquables telles que \( a^3 - b^3 \), \( a^3 + b^3 \), etc.

En résumé, la méthode générale pour factoriser un polynôme de degré 3 (ou plus) implique souvent de trouver des racines rationnelles, de diviser le polynôme, puis de factoriser le reste.

t'aurais pu lui balancer de lien de tchat GPT au lieu de faire croire que tu as pondu ça tout seul

Le 10 octobre 2024 à 20:31:48 :
C’est marrant perso je suis en deuxième année de prépa PC et j’ai eu une seule fois besoin de résoudre un polynôme de degré 3 (avec une racine évidente en plus), on doit pas faire le même type d’exercice, tu les prend ou ?

J'en ai eu plein avec des exos comme ça, principalement c'est des polynomes de degrès deux, du coup je prends le discriminant direct pour savoir si je peux factoriser.
Mais je les prends sur des sites anglophone mon khey, je suis plus confortable avec les méthodes anglosaxonne que Francophone

Le 10 octobre 2024 à 20:31:48 :
C’est marrant perso je suis en deuxième année de prépa PC et j’ai eu une seule fois besoin de résoudre un polynôme de degré 3 (avec une racine évidente en plus), on doit pas faire le même type d’exercice, tu les prend ou ?

Mais t'es en prépa pour faire quoi du coup de l'ingéniérie ?

Le 10 octobre 2024 à 20:31:48 :

Le 10 octobre 2024 à 20:28:56 :
Méthode de Cardan pour le degré 3

Vous utilisez cette méthode directement vous ?

Je l'ai déjà utilisée dans des exos introductifs de théorie de Galois sinon non, mais comme l'ont dit les autres si ce sont des polynômes d'exos de licence il y a probablement des racines évidentes

Le 10 octobre 2024 à 20:37:06 :
Dans 95% des cas tu trouves une racine évidente qui te permet de factoriser ton polynôme en un produit d'un polynôme de degré 1 et 2. Après pour trouver les coefficients de ton polynôme de degré 2, tu peux utiliser la propriété d'unicité de ton polynôme en développant et en identifiant tes coefficients avec ceux de ton polynôme de départ de degré 3.

Oui, et pas besoin de le rédiger, ça déroule tout seul normalement.
Dès que tu factorises par (x-alpha), tu sais quel est le coefficient devant x², ce coefficient t'indique ce qu'il manque pour avoir le coefficient du polynôme développé devant x, etc.

Le 10 octobre 2024 à 20:35:33 :

Le 10 octobre 2024 à 20:31:48 :

Le 10 octobre 2024 à 20:28:56 :
Méthode de Cardan pour le degré 3

Vous utilisez cette méthode directement vous ?

Je l'ai déjà utilisée dans des exos introductifs de théorie de Galois sinon non, mais comme l'ont dit les autres si ce sont des polynômes d'exos de licence il y a probablement des racines évidentes

Ouai du coup je vais go racine évidente en option 2 si je peux pas factoriser en groupant

Le 10 octobre 2024 à 20:39:16 :

Le 10 octobre 2024 à 20:37:06 :
Dans 95% des cas tu trouves une racine évidente qui te permet de factoriser ton polynôme en un produit d'un polynôme de degré 1 et 2. Après pour trouver les coefficients de ton polynôme de degré 2, tu peux utiliser la propriété d'unicité de ton polynôme en développant et en identifiant tes coefficients avec ceux de ton polynôme de départ de degré 3.

Oui, et pas besoin de le rédiger, ça déroule tout seul normalement.
Dès que tu factorises par (x-alpha), tu sais quel est le coefficient devant x², ce coefficient t'indique ce qu'il manque pour avoir le coefficient du polynôme développé devant x, etc.

Apparement pour trouver une racine potentielle il faut faire :

terme constant / coefficient du terme dominant

genre si j'ai :

2x^3 + 5x^2 + x + 4

il faut faire :

les racines évidentes potentielle sont :
+ ou - 4/2 ou 4 et 1

Mais quand il y a des gros nombres ça commence a être chiant

Le 10 octobre 2024 à 20:43:27 :

Le 10 octobre 2024 à 20:39:16 :

Le 10 octobre 2024 à 20:37:06 :
Dans 95% des cas tu trouves une racine évidente qui te permet de factoriser ton polynôme en un produit d'un polynôme de degré 1 et 2. Après pour trouver les coefficients de ton polynôme de degré 2, tu peux utiliser la propriété d'unicité de ton polynôme en développant et en identifiant tes coefficients avec ceux de ton polynôme de départ de degré 3.

Oui, et pas besoin de le rédiger, ça déroule tout seul normalement.
Dès que tu factorises par (x-alpha), tu sais quel est le coefficient devant x², ce coefficient t'indique ce qu'il manque pour avoir le coefficient du polynôme développé devant x, etc.

Apparement pour trouver une racine potentielle il faut faire :

terme constant / coefficient du terme dominant

genre si j'ai :

2x^3 + 5x^2 + x + 4

il faut faire :

les racines évidentes potentielle sont :
+ ou - 4/2 ou 4 et 1

Mais quand il y a des gros nombres ça commence a être chiant

J'ai jamais entendu parler de ça, ça l'air débile no offense

Le 10 octobre 2024 à 20:47:40 :
Si pas de racine évidente et coef du plus haut degré de x=/=1 je fais prout

Ahiii pourquoi tu t'appel noobmath mon khey ?

Le 10 octobre 2024 à 20:47:58 :
La principe d'une racine évidente, c'est qu'elle est évidente ça sert à rien de faire de la numérologie, tu testes -2, -1, 0, 1 et 2, à la limite 1/2 et c'est tout.

Ouai mais faut tester quand même quoi c'est chiant