[Math] Comment vous factorisez les polynômes de degrés 3 est plus ?

Facilement ?

Genre a chaque fois que j'ai ce type de polynomes je regarde si je peux pas factoriser en groupant, ensuite si je trouve rien bah je galère, je peux essayer de trouver le root du polynôme qui me permet de trouver un facteur du polynôme mais ça prends du temps.

Vous avez une méthode plus simple est rapide ?

Le 10 octobre 2024 à 19:50:07 :
C'est toi le khey qui se lance dans l'apprentissage des math à 30 ans ?

Oui c'est moi mon khey je travail mes maths tout les jours ahii, mais j'ai pas encore 30 ans, je m'y approche

Le 10 octobre 2024 à 20:21:52 :
L'op incapable de factoriser des polynômes bordel

Bah ceux du degrès 2 c'est facile, mais a partir du 3eme degrès c'est tendu si c'est pas évident

Le 10 octobre 2024 à 20:22:08 :
Ya pas de façon facile, le plus fréquent c'est la racine évidente, si alpha est racine de ton polynôme alors tu peux le factoriser par (x-alpha), sinon dans le cas général ya des formules que personne n'apprend

Oui donc c'est la méthode que j'ai dit, mais reste a trouver la racine aussi, il faut faire plusieurs test pour savoir quelle est la racine

La factorisation des polynômes de degré 3 ou plus peut être plus complexe que pour les polynômes de degré 2. Il existe différentes méthodes pour factoriser les polynômes de degré supérieur. Voici un aperçu des étapes générales et des méthodes les plus courantes :

1. 1. 1. 1. **Recherche de racines évidentes (méthode d'essai-erreur ou méthode des racines rationnelles) :**

- Pour un polynôme de degré 3 (ou plus), la première étape consiste souvent à rechercher des racines évidentes en utilisant la **méthode des racines rationnelles**. Cela consiste à tester les diviseurs du terme constant et du coefficient du terme de plus haut degré dans le polynôme.
- Supposons que vous ayez un polynôme de la forme :
\[
P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0
\]
Vous pouvez tester les valeurs rationnelles de la forme \( \frac{p}{q} \), où \( p \) est un diviseur du terme constant \( a_0 \) et \( q \) est un diviseur du coefficient principal \( a_n \).
- Si vous trouvez une racine \( r \), cela signifie que \( x - r \) est un facteur du polynôme.

1. 1. 1. 2. **Division polynomiale ou division synthétique :**

- Une fois qu'une racine \( r \) est trouvée, vous pouvez effectuer une division polynomiale pour diviser le polynôme par \( x - r \), ce qui vous donne un quotient de degré inférieur.
- Par exemple, si \( P(x) = (x - r) Q(x) \), où \( Q(x) \) est un polynôme de degré 2 (si le polynôme initial était de degré 3).
- Vous pouvez ensuite factoriser ce polynôme de degré inférieur en utilisant les techniques classiques de factorisation (pour les polynômes de degré 2, la méthode du discriminant, par exemple).

1. 1. 1. 3. **Utilisation de formules spécifiques (pour les polynômes de degré 3) :**

- Pour les polynômes de degré 3, vous pouvez également essayer de factoriser en utilisant des formules spéciales. Par exemple, pour un polynôme cubique de la forme \( ax^3 + bx^2 + cx + d \), il existe des formules algébriques (comme la **formule de Cardan**) qui permettent de trouver les racines directement.
- Cela peut être plus compliqué, mais il s'agit d'une approche possible si les racines ne sont pas évidentes.

1. 1. 1. 4. **Facteur commun :**

- Parfois, il peut y avoir un **facteur commun** dans tous les termes du polynôme. Recherchez un facteur commun et divisez tout le polynôme par ce facteur.

1. 1. 1. 5. **Décomposition par regroupement des termes (parfois pour degré 4 et plus) :**

- Si le polynôme a un degré plus élevé, une technique possible est de **regrouper les termes** pour essayer de factoriser par morceaux.
- Par exemple, pour un polynôme de degré 4 comme :
\[
P(x) = x^4 + 2x^3 + x^2 + 2x
\]
Vous pouvez essayer de regrouper les termes :
\[
P(x) = (x^4 + 2x^3) + (x^2 + 2x) = x^3(x + 2) + x(x + 2) = (x^3 + x)(x + 2) = x(x^2 + 1)(x + 2)
\]

1. 1. 1. 6. **Théorème de Ruffini (pour des racines évidentes) :**

- Ce théorème est une méthode rapide pour diviser un polynôme par \( x - r \), une fois que vous avez trouvé une racine \( r \). Cela simplifie le calcul de la division.

1. 1. 1. Exemple : Factoriser un polynôme de degré 3

Prenons le polynôme :
\[
P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6
\]
1. **Cherchons les racines rationnelles** : Les diviseurs du terme constant (-6) sont \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \), et ceux du terme dominant (1) sont \( \pm 1 \). Essayons \( x = 1 \) :
\[
P(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0
\]
Donc \( x = 1 \) est une racine.

2. **Division du polynôme par \( x - 1 \)** (division synthétique ou longue). En divisant \( P(x) \) par \( x - 1 \), on obtient :
\[
P(x) = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)
\]

3. **Factorisation du polynôme quadratique** :
\[
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
\]

4. **Conclusion** :
La factorisation complète est donc :
\[
P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)
\]

1. 1. 1. 7. **Utilisation des identités remarquables :**

- Parfois, un polynôme peut être factorisé en utilisant des identités remarquables telles que \( a^3 - b^3 \), \( a^3 + b^3 \), etc.

En résumé, la méthode générale pour factoriser un polynôme de degré 3 (ou plus) implique souvent de trouver des racines rationnelles, de diviser le polynôme, puis de factoriser le reste.

Le 10 octobre 2024 à 20:21:52 :
L'op incapable de factoriser des polynômes bordel

Et toi les pylônes tu les factorises pas ?

Méthode de Cardan c’est pas mal.

Pourquoi t’as besoin de faire ça ? C’est pour un exercice en particulier ou en général ?

Le 10 octobre 2024 à 20:25:21 :
La factorisation des polynômes de degré 3 ou plus peut être plus complexe que pour les polynômes de degré 2. Il existe différentes méthodes pour factoriser les polynômes de degré supérieur. Voici un aperçu des étapes générales et des méthodes les plus courantes :

1. 1. 1. 1. **Recherche de racines évidentes (méthode d'essai-erreur ou méthode des racines rationnelles) :**

- Pour un polynôme de degré 3 (ou plus), la première étape consiste souvent à rechercher des racines évidentes en utilisant la **méthode des racines rationnelles**. Cela consiste à tester les diviseurs du terme constant et du coefficient du terme de plus haut degré dans le polynôme.
- Supposons que vous ayez un polynôme de la forme :
\[
P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0
\]
Vous pouvez tester les valeurs rationnelles de la forme \( \frac{p}{q} \), où \( p \) est un diviseur du terme constant \( a_0 \) et \( q \) est un diviseur du coefficient principal \( a_n \).
- Si vous trouvez une racine \( r \), cela signifie que \( x - r \) est un facteur du polynôme.

1. 1. 1. 2. **Division polynomiale ou division synthétique :**

- Une fois qu'une racine \( r \) est trouvée, vous pouvez effectuer une division polynomiale pour diviser le polynôme par \( x - r \), ce qui vous donne un quotient de degré inférieur.
- Par exemple, si \( P(x) = (x - r) Q(x) \), où \( Q(x) \) est un polynôme de degré 2 (si le polynôme initial était de degré 3).
- Vous pouvez ensuite factoriser ce polynôme de degré inférieur en utilisant les techniques classiques de factorisation (pour les polynômes de degré 2, la méthode du discriminant, par exemple).

1. 1. 1. 3. **Utilisation de formules spécifiques (pour les polynômes de degré 3) :**

- Pour les polynômes de degré 3, vous pouvez également essayer de factoriser en utilisant des formules spéciales. Par exemple, pour un polynôme cubique de la forme \( ax^3 + bx^2 + cx + d \), il existe des formules algébriques (comme la **formule de Cardan**) qui permettent de trouver les racines directement.
- Cela peut être plus compliqué, mais il s'agit d'une approche possible si les racines ne sont pas évidentes.

1. 1. 1. 4. **Facteur commun :**

- Parfois, il peut y avoir un **facteur commun** dans tous les termes du polynôme. Recherchez un facteur commun et divisez tout le polynôme par ce facteur.

1. 1. 1. 5. **Décomposition par regroupement des termes (parfois pour degré 4 et plus) :**

- Si le polynôme a un degré plus élevé, une technique possible est de **regrouper les termes** pour essayer de factoriser par morceaux.
- Par exemple, pour un polynôme de degré 4 comme :
\[
P(x) = x^4 + 2x^3 + x^2 + 2x
\]
Vous pouvez essayer de regrouper les termes :
\[
P(x) = (x^4 + 2x^3) + (x^2 + 2x) = x^3(x + 2) + x(x + 2) = (x^3 + x)(x + 2) = x(x^2 + 1)(x + 2)
\]

1. 1. 1. 6. **Théorème de Ruffini (pour des racines évidentes) :**

- Ce théorème est une méthode rapide pour diviser un polynôme par \( x - r \), une fois que vous avez trouvé une racine \( r \). Cela simplifie le calcul de la division.

1. 1. 1. Exemple : Factoriser un polynôme de degré 3

Prenons le polynôme :
\[
P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6
\]
1. **Cherchons les racines rationnelles** : Les diviseurs du terme constant (-6) sont \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \), et ceux du terme dominant (1) sont \( \pm 1 \). Essayons \( x = 1 \) :
\[
P(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0
\]
Donc \( x = 1 \) est une racine.

2. **Division du polynôme par \( x - 1 \)** (division synthétique ou longue). En divisant \( P(x) \) par \( x - 1 \), on obtient :
\[
P(x) = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)
\]

3. **Factorisation du polynôme quadratique** :
\[
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
\]

4. **Conclusion** :
La factorisation complète est donc :
\[
P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)
\]

1. 1. 1. 7. **Utilisation des identités remarquables :**

- Parfois, un polynôme peut être factorisé en utilisant des identités remarquables telles que \( a^3 - b^3 \), \( a^3 + b^3 \), etc.

En résumé, la méthode générale pour factoriser un polynôme de degré 3 (ou plus) implique souvent de trouver des racines rationnelles, de diviser le polynôme, puis de factoriser le reste.

On bon bah il n'y a pas de solutions vraiment évidente alors, merci mon khey , au moins au degrès 2 on peut utiliser le discriminant pour savoir si c'est factorisable mais la j'ai l'impression qu'il y a même pas d'astuce pour savoir si un un polynome de degrès 3 et plus est factorisable

Le 10 octobre 2024 à 20:26:35 :
Méthode de Cardan c’est pas mal.

Pourquoi t’as besoin de faire ça ? C’est pour un exercice en particulier ou en général ?

Non en gros je reprends les maths de 0 depuis quelques mois et du coup mes exos deviennent de plus en plus difficile et parfois je dois factoriser des polynômes de 3eme degrès pour trouver des limites ou d'autre types d'exo, donc je parlais plutôt en général mon khey

Le 10 octobre 2024 à 20:28:32 :
dans 90% en licence quand t'as affaire à ce genre de polynome t'as une racine évidente genre 1, -1, donc tu factorises facilement et tu te ramènes au degré 2

Ouai bon je vais essayer ceux la en premier du coup, après je ne suis pas a l'école mon khey j'apprends pas moi même en autodidacte
D'ailleurs je savais même pas qu'on appelait ça racine évidente en Français, en anglais ils appellent juste ça "root" genre trouver le root d'un polynome c'est la racine evidente quoi

Le 10 octobre 2024 à 20:28:56 :
Méthode de Cardan pour le degré 3

Vous utilisez cette méthode directement vous ?