Prouver que tout hyperplan de matrices contient une matrice inversible et une matrice non inversible

Si ça contient aucune matrice inversible vec(In) est un supplémentaire de H

Tu peux écrire toute matrice comme une matrice de H + un multiple de l'identité etc...

Le 17 juillet 2023 à 08:54:23 :
Un hyperplan est supplémentaire d’une droite vectorielle, ça vient tout seul

Non ça ne vient pas tout seul lol

Le 17 juillet 2023 à 08:53:11 :
Le déterminant est égal ?
La forme de la matrice ?

On parle de matrices carrées (sinon "inversible" et "non inversible" ne ferait pas sens).

Le 17 juillet 2023 à 08:56:56 :
Si ça contient aucune matrice inversible vec(In) est un supplémentaire de H

Tu peux écrire toute matrice comme une matrice de H + un multiple de l'identité etc...

Oui c'est vrai mais alors ?

Le 17 juillet 2023 à 09:08:44 :
Ça dépend essentiellement de la polymétrie dudit plan à matrice inversible de base

Non (charabia)

Le 17 juillet 2023 à 09:09:55 :
J'aime bien l'idée qui consiste á écrire l'hyperplan comme noyau de A ---> Tr(M.A) avec M fixé.

Excellente idée. Mais déjà, pourquoi est-ce possible ? Et ensuite, il faut continuer la preuve après.

Par ailleurs, sur quels corps est-ce que cette idée fonctionne ?

Le 17 juillet 2023 à 08:50:40 :
Des idées ? (correction: remplacez "matrice" par "matrice non nulle")

Si y'a pas d'intersection avec matrices inversibles alors matrices inversibles contenu dans un sous-espace (de dim 1 mais osef). Sauf que les matrices inversibles sont denses et tout SEV stricte est d'intérieur vide donc c'est impossible

Pour la matrice non inversible :
Donc y'a que des matrices inversibles sauf 0. Le supplémentaire est de dimension 1.
Et donc ? Je ne sais pas :/

Le 17 juillet 2023 à 09:11:31 :

Le 17 juillet 2023 à 08:50:40 :
Des idées ? (correction: remplacez "matrice" par "matrice non nulle")

Si y'a pas d'intersection avec matrices inversibles alors matrices inversibles contenu dans un sous-espace (de dim 1 mais osef). Sauf que les matrices inversibles sont denses et tout SEV stricte est d'intérieur vide donc c'est impossible

Pour la matrice non inversible :
Donc y'a que des matrices inversibles sauf 0. Le supplémentaire est de dimension 1.
Et donc ? Je ne sais pas :/

Quand tu dis "si il n'y a pas d'intersection avec matrices inversibles alors matrices inversibles contenu dans un sous-espace de dim 1", c'est faux: tu confonds complémentaire et supplémentaire.

Imagine dans l'espace: c'est pas parce qu'un ensemble ne croise pas un plan donné que cet ensemble est inclus dans un sous-espace de dimension 1. Par exemple, le complémentaire d'un plan ne croise pas ce plan, et pourtant le complémentaire d'un plan n'est inclus dans aucune droite.

Le 17 juillet 2023 à 09:16:41 :

Le 17 juillet 2023 à 09:11:31 :

Le 17 juillet 2023 à 08:50:40 :
Des idées ? (correction: remplacez "matrice" par "matrice non nulle")

Si y'a pas d'intersection avec matrices inversibles alors matrices inversibles contenu dans un sous-espace (de dim 1 mais osef). Sauf que les matrices inversibles sont denses et tout SEV stricte est d'intérieur vide donc c'est impossible

Pour la matrice non inversible :
Donc y'a que des matrices inversibles sauf 0. Le supplémentaire est de dimension 1.
Et donc ? Je ne sais pas :/

Le 17 juillet 2023 à 09:11:31 :

Le 17 juillet 2023 à 08:50:40 :
Des idées ? (correction: remplacez "matrice" par "matrice non nulle")

Si y'a pas d'intersection avec matrices inversibles alors matrices inversibles contenu dans un sous-espace (de dim 1 mais osef). Sauf que les matrices inversibles sont denses et tout SEV stricte est d'intérieur vide donc c'est impossible

Pour la matrice non inversible :
Donc y'a que des matrices inversibles sauf 0. Le supplémentaire est de dimension 1.
Et donc ? Je ne sais pas :/

Quand tu dis "si il n'y a pas d'intersection avec matrices inversibles alors matrices inversibles contenu dans un sous-espace de dim 1", c'est faux: tu confonds complémentaire et supplémentaire.

Ah put1 je suis con

Le 17 juillet 2023 à 09:15:22 :
Vu que le supplémentaire est de dimension 1 et que TOUTES les matrices non inversibles sont dedans. Alors il existe une matrice M telle que pour tout N appartenant à ta droite, il existe lambda tel que N=lambda M
Il suffit de montrer qu'en dimension 2 il n'existe pas de tels lambda et c'est gagné.
Par exemple en choisissant 2 matrices nilpotentes

Edit : De manière évidente, il faut compléter un peu l'exemple parce qu'il pue un peu du cul mais ça suffit à y arriver

Tout faux. Tu confonds encore complémentaire et supplémentaire.

Le 17 juillet 2023 à 09:09:55 :
J'aime bien l'idée qui consiste á écrire l'hyperplan comme noyau de A ---> Tr(M.A) avec M fixé.

C'est la preuve classique mais à certain elle semble un peu parachutee

Le 17 juillet 2023 à 09:30:06 :
C'est quel niveau d'études en maths cette question?

Niveau L1 c'est une question qui utilise que des notions élémentaires d'algèbre linéaire

C'est la preuve classique mais à certain elle semble un peu parachutee

Ben hyperplan ---> noyau de forme linéaire ---> forme linéaire en dimension finie ? ---> produit scalaire !