Le 28 octobre 2022 à 13:51:38 :
Le 28 octobre 2022 à 13:50:24 :
Le 28 octobre 2022 à 13:35:56 :
0^0 = ?
0 ou 1 ?
1, il y a une unique fonction de Ø vers Ø
C'est le truc officiel ?
Officiel, je sais pas mais je croise souvent la convention 0^0=1 et jamais 0^0=0. La convention 0^0=1 est la bonne pour faire des séries entières.
- Disons que si on prend x réel et n entier, puis qu'on spécifie x=0 et n=0, là, le seul choix naturel, c'est 1 car c'est l'unique choix qui vérifie toutes les continuités qu'on veut.
- Si on travaille avec n entier et x réel puis qu'on spécifie les deux à être 0, là c'est naturel de poser 0^0=0. Sauf que ce contexte apparaît très peu, contrairement au précédent.
- Et si on travaille avec m et n entiers ? Là, il n'y a plus unicité du choix pertinent par des considérations de continuité, puisque la topologie est discrète. Alors, j'estime que le choix pertinent est de définir m^n comme le nombre de fonctions d'un ensemble à n éléments vers un ensemble à m éléments(nombre qui ne dépend pas des choix spécifiques pour ces ensembles). Alors 0^0 = 1, à cause de la "fonction vide" explicitée plus haut. On peut formellement vérifier que cette fonction en est une. Et, du point de vue plus avancé de la théorie des catégories, c'est important qu'elle existe, cette fonction.
- Enfin, pour x et y réels, le problème (classique) est inverse à celui de m et n entiers : ce n'est pas qu'il y a trop de prolongements par continuité, c'est qu'il n'y en a aucun (forme indéterminée).
Quand on mélange tout cela, mon avis issu des trois premiers points(et du fait que x^n apparaît souvent dans plein de théories et n^x bien plus rarement, ou alors dans des contextes type zeta où x ne s'approchera pas de 0), c'est que 0^0=1. Le quatrième point s'interprète alors comme "la fonction qui envoie (x,y) sur x^y est bien définie en (0,0) mais n'est pas continue".
