[ Maths] besoin d'aide les kheys

Tout ce qui me vient c'est la relation que j'avais découverte il y a 3 ans u(n) = (0 parmi n) + (1 parmi n-1) + ... + (n-1 parmi 1) + (n parmi 0)

Comme c'est une somme ça se simplifie peut être pas aussi bien, enfin en écrivant formellement les sommes avec sigma et en faisant des changements de variables sur la somme des combinaisons de u(n+1) ça devrait donner un truc

Le 21 juin 2022 à 15:16:24 :
Tout ce qui me vient c'est la relation que j'avais découverte il y a 3 ans u(n) = (0 parmi n) + (1 parmi n-1) + ... + (n-1 parmi 1) + (n parmi 0)

Comme c'est une somme ça se simplifie peut être pas aussi bien, enfin en écrivant formellement les sommes avec sigma et en faisant des changements de variables sur la somme des combinaisons de u(n+1) ça devrait donner un truc

On peut le montrer par récurrence à deux termes avec la formule du triangle de Pascal pour l'op ((k parmi n) + (k+1 parmi n) = (k+1 parmi n+1)), ce que je l'invite à essayer de faire même s'il n'aboutit pas, mais le plus intéressant est la preuve combinatoire qui explique que la formule n'a rien de magique.

Le n-ième terme u_{n} de la suite de Fibonacci représente le nombre de façons de payer une somme de n euros en utilisant des pièces de 1€ ou 2€. On s'en convainc en vérifiant que l'égalité est vérifiée pour n=0 et 1, puis on obtient la relation de récurrence à deux termes selon que l'on commence par payer les n+2 euros avec une pièce de 1€ ou 2€.

Maintenant, pour l'égalité que tu as montrée, elle est une conséquence directe de cette interprétation.
Supposons que je veuille payer n euros avec des pièces de 1€ ou 2€ donc. Une façon de faire est d'abord de déterminer le nombre de pièces k que je compte utiliser (k variant théoriquement de 0 à n), puis de choisir parmi ces k pièces seront celles de 1€ ou 2€. Une façon simple de dénombrer le nombre de façons de le faire est d'abord de mettre k pièces de 1€ devant soit, si bien qu'il me reste n-k euros à payer, et donc de sélectionner n-k pièces parmi mes k pièces de 1€ pour les remplacer par une pièce de 2€ : ainsi j'aurai bien n euros répartis entre mes k pièces. Il y a évidemment (n-k parmi k) façons de faire pour chaque k.

Réciproquement, toute répartition de n euros en pièces de 1€ ou 2€ est caractérisée par le nombre de pièces k qu'il y a dans la répartition, puis par le choix des pièces de 2€ parmi les k pièces qui doivent être en nombre n-k.

On en déduit bien la formule

Je ne sais pas vraiment quel est le sujet précis de l'auteur, mais peut-être que le point de vue dénombrement t'était inconnu, si ton sujet est transversal (du type "autour de la suite de Fibonacci"), tu peux évoquer le sujet si ça t'amuse.
Il y a aussi les propriétés arithmétiques vraiment sympathiques de la suite (la somme de deux carrés successifs, le "u_{n} premier implique n premier"...). Le sujet est vaste

Le 20 juin 2022 à 21:33:50 :
En fait elle est pas monotone la suite v(n) attends 2s

On peut montrer que v(2n) et v(2n+1) sont toutes deux monotones, de monotonie opposée.Il s'agit des réduites de la fraction continue de phi, si on veut parler savamment.On peut facilement montrer la monotonie mais pour l'adjacence c'est un peu plus pénible.