[ Maths] besoin d'aide les kheys

tu prends la formule de Binet et tu calcules la limite

je fais mon grand oral sur Fibonacci aussi, c'est quoi ton sujet toi ?

Le 20 juin 2022 à 21:25:16 :
tu prends la formule de Binet et tu calcules la limite

je fais mon grand oral sur Fibonacci aussi, c'est quoi ton sujet toi ?

Le 20 juin 2022 à 21:25:16 :
tu prends la formule de Binet et tu calcules la limite

je fais mon grand oral sur Fibonacci aussi, c'est quoi ton sujet toi ?

Mon sujet c'est en quoi la suite de Fibonacci est si particulière. La formule de Binet c'est pas niveau terminale S

Le 20 juin 2022 à 21:24:02 :
https://www.bibmath.net/formulaire/index.php?action=affiche&quoi=suitereclin

Kheyou merci mais c'est hors programme Terminale

Le 20 juin 2022 à 21:26:01 :
On pose v(n) = u(n+1)/u(n).
Je te laisse montrer que v(n) est croissante.
Elle est majorée, je te laisse le montrer.
Elle est donc convergente, disons vers l.
D'autre part en divisant ton égalité du début par u(n+1) tu as une équation sur v(n+1) et v(n).
Tu passes à la limite et tu as une équation sur l. Tu résous, l est forcément la solution positive de cette équation. Et tu trouveras que l= phi

Je n'arrive pas à montrer que vn est croissante car j'obtiens Vn+1-Vn= Un²+(Un+1×Un)-Un+1²/Un+1×Un

Le 20 juin 2022 à 21:45:20 :
On ne peut pas tout resoudre au niveau terminale vu la pauvreté du programme.

Tu es sûr kheyou ? Parce mon oral c'est Mercredi et j'ai peur qu'on me demande de le démontrer

Le 20 juin 2022 à 21:35:17 :

Le 20 juin 2022 à 21:25:16 :
tu prends la formule de Binet et tu calcules la limite

je fais mon grand oral sur Fibonacci aussi, c'est quoi ton sujet toi ?

Le 20 juin 2022 à 21:25:16 :
tu prends la formule de Binet et tu calcules la limite

je fais mon grand oral sur Fibonacci aussi, c'est quoi ton sujet toi ?

Mon sujet c'est en quoi la suite de Fibonacci est si particulière. La formule de Binet c'est pas niveau terminale S

la démonstration est du niveau de Term S

tu peux parfaitement l'utiliser, mon prof agrégé me l'a confirmé

et alors tu dis quoi ton oral stp ? T'es chaud on se partage le contenu ?

Le 20 juin 2022 à 22:04:17 :

Le 20 juin 2022 à 21:35:17 :

Le 20 juin 2022 à 21:25:16 :
tu prends la formule de Binet et tu calcules la limite

je fais mon grand oral sur Fibonacci aussi, c'est quoi ton sujet toi ?

Le 20 juin 2022 à 21:25:16 :
tu prends la formule de Binet et tu calcules la limite

je fais mon grand oral sur Fibonacci aussi, c'est quoi ton sujet toi ?

Mon sujet c'est en quoi la suite de Fibonacci est si particulière. La formule de Binet c'est pas niveau terminale S

la démonstration est du niveau de Term S

tu peux parfaitement l'utiliser, mon prof agrégé me l'a confirmé

et alors tu dis quoi ton oral stp ? T'es chaud on se partage le contenu ?

Pas de soucis on peut se partager notre oral

Démo simple de tête si je ne dis pas de bêtise, utilisant seulement que phi^2 = phi + 1 (qu'on va utiliser sous la forme phi = 1 + 1/phi.

On part de u_{n+2} = u_{n+1} + u_{n}, donc en notant v_{n} = v_{n+1}/v_{n}, on a v_{n+1} = 1 + 1/v_{n}.
On note finalement w_{n} = |v_{n} - phi|, pour avoir en exploitant l'équation de phi :

v_{n+1} - phi = 1 + 1/v_{n} - phi = 1 + 1/v_{n} - (1 + 1/phi) = 1/v_{n} - 1/phi = (phi - v_{n})/(phi*v_{n}), donc avec les valeurs absolues :

w_{n+1} = w_{n}/(phi*v_{n}) < w_{n}/phi (évidemment v_{n} > 1, immédiat par sa définition).

Au final, par récurrence on a que w_{n} < w_{0}/phi^n qui tend vers 0, donc w_{n} aussi, donc v_{n} tend vers phi

Le 21 juin 2022 à 12:16:31 :
Démo simple de tête si je ne dis pas de bêtise, utilisant seulement que phi^2 = phi + 1 (qu'on va utiliser sous la forme phi = 1 + 1/phi.

On part de u_{n+2} = u_{n+1} + u_{n}, donc en notant v_{n} = v_{n+1}/v_{n}, on a v_{n+1} = 1 + 1/v_{n}.
On note finalement w_{n} = |v_{n} - phi|, pour avoir en exploitant l'équation de phi :

v_{n+1} - phi = 1 + 1/v_{n} - phi = 1 + 1/v_{n} - (1 + 1/phi) = 1/v_{n} - 1/phi = (phi - v_{n})/(phi*v_{n}), donc avec les valeurs absolues :

w_{n+1} = w_{n}/(phi*v_{n}) < w_{n}/phi (évidemment v_{n} > 1, immédiat par sa définition).

Au final, par récurrence on a que w_{n} < w_{0}/phi^n qui tend vers 0, donc w_{n} aussi, donc v_{n} tend vers phi

C'est pas vraiment du niveau Terminale mais je prend quand même

C'est tout à fait niveau terminale, tu n'en as pas l'impression simplement à cause de la "qualité" (un bien grand mot) du raisonnement, mais ça n'utilise absolument rien de hors programme. Tout est à base de calculs élémentaires et on utilise seulement le théorème des gendarmes à la toute fin

Aucune triche, aucune théorie sur les suites récurrentes linéaires, aucun théorème supérieur d'analyse, uniquement du programme de terminale. Les idées viennent du supérieur, mais pas les outils utilisés

Tu as le droit d'admettre que tu n'as pas produit le raisonnement seul si tu es capable d'en justifier toutes les étapes. Pour l'heuristique, quelques points quand même :

Si on a une idée de la limite l a priori d'une suite u_{n}, on a tout intérêt à étudier |u_{n} - l|

N'utilise JAMAIS la relation phi = (1+sqrt(5))/2 en première instance : fais reposer tous les calculs sur la relation phi^2 = phi + 1. C'est cette relation qui définit phi (tu peux voir l'analogue avec la relation de récurrence de Fibonacci en remplaçant les translations d'indices par des puissances sur phi : c'est exactement de là que vient phi qui ne sort pas du ciel. Ce point me semble capital si tu veux parler un peu sérieusement de la suite de Fibonacci, même sans avoir choisi de faire la théorie des suites récurrentes linéaires d'ordre 2)

Le passage de w_{n+1} < w_{n}/phi et toute relation de ce type doit t'inviter à essayer de dérouler les inégalités successives pour deviner tout seul que w_{n} < w_{0}/phi^n

Je ne vois pas vraiment ce qui te dérange hors du fait que tu n'aurais pas pu avoir les idées seul (mais honnêtement tu ne peux avoir aucune idée avec les programmes de terminale actuels qui te font colorier des canards et calculer des dérivées triviales dans des centaines d'exercices stéréotypés, on ne t'en veut pas de ne jamais avoir fait de maths dans ta vie tu n'es pas responsable, c'est sans doute même la première preuve que tu vois de ta vie à moins d'être un peu curieux et d'aimer les maths pour avoir lu quelques classiques sur internet), on ne peut pas faire plus élémentaire, on attaque vraiment le problème de front sans résultats de théories élaborées, je doute que tu puisses trouver plus simple

Le 21 juin 2022 à 15:03:13 :
C'est tout à fait niveau terminale, tu n'en as pas l'impression simplement à cause de la "qualité" (un bien grand mot) du raisonnement, mais ça n'utilise absolument rien de hors programme. Tout est à base de calculs élémentaires et on utilise seulement le théorème des gendarmes à la toute fin

Aucune triche, aucune théorie sur les suites récurrentes linéaires, aucun théorème supérieur d'analyse, uniquement du programme de terminale. Les idées viennent du supérieur, mais pas les outils utilisés

Tu as le droit d'admettre que tu n'as pas produit le raisonnement seul si tu es capable d'en justifier toutes les étapes. Pour l'heuristique, quelques points quand même :

Si on a une idée de la limite l a priori d'une suite u_{n}, on a tout intérêt à étudier |u_{n} - l|

N'utilise JAMAIS la relation phi = (1+sqrt(5))/2 en première instance : fais reposer tous les calculs sur la relation phi^2 = phi + 1. C'est cette relation qui définit phi (tu peux voir l'analogue avec la relation de récurrence de Fibonacci en remplaçant les translations d'indices par des puissances sur phi : c'est exactement de là que vient phi qui ne sort pas du ciel. Ce point me semble capital si tu veux parler un peu sérieusement de la suite de Fibonacci, même sans avoir choisi de faire la théorie des suites récurrentes linéaires d'ordre 2)

Le passage de w_{n+1} < w_{n}/phi et toute relation de ce type doit t'inviter à essayer de dérouler les inégalités successives pour deviner tout seul que w_{n} < w_{0}/phi^n

Je ne vois pas vraiment ce qui te dérange hors du fait que tu n'aurais pas pu avoir les idées seul (mais honnêtement tu ne peux avoir aucune idée avec les programmes de terminale actuels qui te font colorier des canards et calculer des dérivées triviales dans des centaines d'exercices stéréotypés, on ne t'en veut pas de ne jamais avoir fait de maths dans ta vie tu n'es pas responsable, c'est sans doute même la première preuve que tu vois de ta vie à moins d'être un peu curieux et d'aimer les maths pour avoir lu quelques classiques sur internet), on ne peut pas faire plus élémentaire, on attaque vraiment le problème de front sans résultats de théories élaborées, je doute que tu puisses trouver plus simple

je te remercie kheyou