Question MATH PROBA : j'ai besoin d'aide ! (Niveau basique.)

Voilà un gars m'a soutenu devant tout le monde que si on joue 20 fois à pile ou face, on a genre 5 % de chance de gagner au moins 10 fois.

Moi, je crois plutôt que si on joue à pile ou face 20 fois, on est censé gagner une dizaine de fois. J'ai fait l'expérience, et c'est à peu près ce que je trouve.

Le problème c'est que ce gars n'en démord pas. Il m'a même humilié devant tout le monde, notamment en évoquant la loi binomiale qui est censée me montrer que j'ai tort.

Du coup, j'aimerais bien qu'un matheux m'explique comment on est censé faire pour calculer nos chances de gagner au moins 10 fois si l'on jette une pièce 20 fois.

Merci par avance pour votre aide

Réponse directe : p(k=10) = (10 parmi 20)*(1/2^20), si tu veux p(k>10) alors ça vaut (somme{i=10..20}[i parmi 20])*(1/2^20)

Si tu veux l'explication d'ou vient la loi binomiale demande moi mais ça va prendre du temps à écrire

Le 10 janvier 2022 à 17:26:43 :
Réponse directe : p(k=10) = (10 parmi 20)*(1/2^20), si tu veux p(k>10) alors ça vaut (somme{i=10..20}[i parmi 20])*(1/2^20)

Bordel, c'est si complexe que ça pour le calculer ?

Mais du coup, c'est quoi le résultat de cette formule ?

Le 10 janvier 2022 à 17:28:18 :

Le 10 janvier 2022 à 17:26:43 :
Réponse directe : p(k=10) = (10 parmi 20)*(1/2^20), si tu veux p(k>10) alors ça vaut (somme{i=10..20}[i parmi 20])*(1/2^20)

Bordel, c'est si complexe que ça pour le calculer ?

Mais du coup, c'est quoi le résultat de cette formule ?

En fait pas vraiment t'as que 3 composantes dans ta formules et elles sont très logiques

C'est pas difficile
On admet que t'as 50% de chances de tomber sur pile et 50% de chances de tomber sur face
Chaque lancer étant indépendant, c'est à dire que le lancer précédent n'influence pas le prochain
C'est évident que t'as 50% de chances de tomber 10 fois sur pile et 10 fois sur face

Ca ne veut pas dire que tu VAS tomber sur 10 piles et 10 faces
Mais si tu répètes l'opération à l'infini ça tend vers 50/50

Le 10 janvier 2022 à 17:31:04 :

Le 10 janvier 2022 à 17:28:18 :

Le 10 janvier 2022 à 17:26:43 :
Réponse directe : p(k=10) = (10 parmi 20)*(1/2^20), si tu veux p(k>10) alors ça vaut (somme{i=10..20}[i parmi 20])*(1/2^20)

Bordel, c'est si complexe que ça pour le calculer ?

Mais du coup, c'est quoi le résultat de cette formule ?

En fait pas vraiment t'as que 3 composantes dans ta formules et elles sont très logiques

Ok, alors je veux bien le détail de la formule, si tu te sens prêt à me la taper

Le 10 janvier 2022 à 17:31:28 :
C'est pas difficile
On admet que t'as 50% de chances de tomber sur pile et 50% de chances de tomber sur face
Chaque lancer étant indépendant, c'est à dire que le lancer précédent n'influence pas le prochain
C'est évident que t'as 50% de chances de tomber 10 fois sur pile et 10 fois sur face

Ca ne veut pas dire que tu VAS tomber sur 10 piles et 10 faces
Mais si tu répètes l'opération à l'infini ça tend vers 50/50

Va apprendre les maths toi

Le 10 janvier 2022 à 17:39:05 :
La proba d'avoir 10 piles et 10 faces est de 0.1762

Justement, ce n'est pas du tout ce que je demande !

Moi, ce que je cherche à savoir, c'est si je fais 20 lancers de pièces en jouant à pile ou face, quelles sont les chances pour que j'aie AU MOINS 10 succès ?

Le 10 janvier 2022 à 17:27:36 :
P(10≤X)=0.5880985260009766

Je sais jai repondu ici

Le 10 janvier 2022 à 17:32:46 :

Le 10 janvier 2022 à 17:31:04 :

Le 10 janvier 2022 à 17:28:18 :

Le 10 janvier 2022 à 17:26:43 :
Réponse directe : p(k=10) = (10 parmi 20)*(1/2^20), si tu veux p(k>10) alors ça vaut (somme{i=10..20}[i parmi 20])*(1/2^20)

Bordel, c'est si complexe que ça pour le calculer ?

Mais du coup, c'est quoi le résultat de cette formule ?

En fait pas vraiment t'as que 3 composantes dans ta formules et elles sont très logiques

Ok, alors je veux bien le détail de la formule, si tu te sens prêt à me la taper

Ok, alors déjà posons les bases, tu as un evenement qui une probablité p d'arrivé, et tu fais N essais, tu cherches à savoir la probabilité que cet evenement tombe k fois parmi ces N essais

Pour tomber k fois sur l'évenement parmi N tirages, ça veut dire que pendant nos essais, on est tombé k fois sur l'evenement mais on a aussi raté N-k fois l'evenement. Du coup sachant que t'as une probabilité p de tomber sur l'evenement et donc 1-p de ne pas tomber dessus, pour tomber en tout sur k evenements et N-k ratés, on aura une probabilité p=p^k*[(1-p)^(N-k)]

Sauf qu'il y a pas qu'une seule manière d'arriver à k réussites et N-k ratés, si on part du fait que tu obtiens 3 réussites tu peux par exemple avoir des réussites aux 1er, 11ème et 20ème essais et le reste de ratés, ou bien aux 6ème, 8ème et 9ème essais et ainsi de suite. Et puisque nous on s'en fiche de comment on a obtenu nos réussites, n'importe lequel de ces enchainements va nous permettre de "valider". Et ça veut donc dire que la probabilité totale de tomber sur k réussites, c'est la probabilité d'obtenir un enchainement de k réussites multiplié par le nombre total d'enchainement de k réussites possibles. Et ce nombre y'a une formule toute faite pour l'obtenir elle s'appelle "k parmi N"

Donc au final la probabilité totale d'avoir k evenement lors de N tirages vaut : p(k)=[k parmi N]*p^k*[(1-p)^(N-k)]
avec donc "k parmi N" le nombre de combinaisons de k réussites parmi N tirages
"p^k" la probabilité d'avoir k réussites
et (1-p)^(N-k) la probabilité d'avoir N-k ratés

Et pour le cas particulier de pile ou face, on a p=1-p=1/2, ce qui donne une formule plus simple de p(k)=[k parmi N]/(2^N) qui est d'ailleurs symétrique, on a la même probabilité d'avoir k réussites que d'avoir k ratés

Le 10 janvier 2022 à 17:41:24 :

Le 10 janvier 2022 à 17:39:05 :
La proba d'avoir 10 piles et 10 faces est de 0.1762

Justement, ce n'est pas du tout ce que je demande !

Moi, ce que je cherche à savoir, c'est si je fais 20 lancers de pièces en jouant à pile ou face, quelles sont les chances pour que j'aie AU MOINS 10 succès ?

Il y a 3 possibilités -> Strictement plus de piles que de faces, on va noter cela p
-> Strictement plus de faces que de piles, on va noter cela f
-> Autant de faces que de piles, on va noter cela t
On sait que p + f + t = 1
On sait que, si la pièce n'est pas truquée alors p = f.
Si on determine t alors on a toutes les infos.
Or la probabilité de t = 10 parmi 20 / 2**20 = 0.176
Donc 2*p = 1-0.176
donc p = (1-0.176)/2

Le 10 janvier 2022 à 17:41:24 :

Le 10 janvier 2022 à 17:39:05 :
La proba d'avoir 10 piles et 10 faces est de 0.1762

Justement, ce n'est pas du tout ce que je demande !

Moi, ce que je cherche à savoir, c'est si je fais 20 lancers de pièces en jouant à pile ou face, quelles sont les chances pour que j'aie AU MOINS 10 succès ?

Oups, si tu veux au moins 10 succès c'est une chance sur deux. Sur 20 lancés, soit tu as au moins 10 faces, soit tu as au moins 10 piles -> ces deux situations sont équiprobables

Le 10 janvier 2022 à 17:41:24 :

Le 10 janvier 2022 à 17:39:05 :
La proba d'avoir 10 piles et 10 faces est de 0.1762

Justement, ce n'est pas du tout ce que je demande !

Moi, ce que je cherche à savoir, c'est si je fais 20 lancers de pièces en jouant à pile ou face, quelles sont les chances pour que j'aie AU MOINS 10 succès ?

Oups, si tu veux AU MOINS 10 succès alors, si tu prends mes notations précédentes alors la probabilité d'avoir au moins 10 faces/piles est de p + t .