[Math] venez compter des sapins avec moi svp ...

Le 30 mars 2021 à 20:09:46 Meizoentje a écrit :
Attends, comme disait un vdd :

... ce sera juste 1/n * (m parmi n)

pourquoi on ne peut pas se contenter de ceci ?

Si m et n sont premiers entre eux ...

En quoi ça nous embête ici le fait que les nombres puissent ne pas être premiers entre eux ? Je crois que je visualise mal la problématique...

Le raisonnement quand m et n sont premiers eux, c'est le suivant: tu prends (m parmi n) pour le nombre d'arrangements pas à rotation près, mais chaque arrangements à rotation près donne n rotations différentes.

Mais quand m et n ne sont pas premiers entre eux, il va y avoir des motifs d-périodiques avec d divisant n. Qui auront que d rotations différentes.

Le 30 mars 2021 à 20:15:12 Motocultage a écrit :

Le 30 mars 2021 à 20:09:46 Meizoentje a écrit :
Attends, comme disait un vdd :

... ce sera juste 1/n * (m parmi n)

pourquoi on ne peut pas se contenter de ceci ?

Si m et n sont premiers entre eux ...

En quoi ça nous embête ici le fait que les nombres puissent ne pas être premiers entre eux ? Je crois que je visualise mal la problématique...

Le raisonnement quand m et n sont premiers eux, c'est le suivant: tu prends (m parmi n) pour le nombre d'arrangements pas à rotation près, mais chaque arrangements à rotation près donne n rotations différentes.

Mais quand m et n ne sont pas premiers entre eux, il va y avoir des motifs d-périodiques avec d divisant n. Qui auront que d rotations différentes.

ah mais oui !!! ouille mais c'est chaud à ce moment là...

Le 30 mars 2021 à 20:13:38 PrepaMaths a écrit :
Si tu fais une rotation des sapins c'est le meme arrangement?

mh pas sûr de voir ce que tu veux dire, je pense qu'avec les illustrations que j'ai partagée on peut saisir complètement la question non ? (c'est une question que je m'inventais donc je n'ai pas un énoncé précis, à la base j'avais la question en ligne : là ça va, mais j'ai eu envie de me demander ce que ça donnerait en cercle...)

Le 30 mars 2021 à 20:17:42 PrepaMaths a écrit :
Tu as des valeurs numeriques? Je teste une formule

non désolé...

Il va falloir utiliser la formule d'inversion de Möbius ça doit donner qqch comme ça:

Le 30 mars 2021 à 20:26:18 Motocultage a écrit :
Il va falloir utiliser la formule d'inversion de Möbius ça doit donner qqch comme ça:

Soit A(n,m) le nombre d'arrangement à rotation près. Soit B(n,m) le nombre d'arrangement à rotation près qui sont exactement n-périodiques.

Si d=pgcd(n,m), on a A(n,m)=somme pour e|d des B(n/e,m/e).

D'autre part, somme pour e|d des e B(n/e,m/e)= m parmi n.

D'où B(n,m)= somme pour e|d des mu(e) * e * (m/e parmi n/e)

(formule d'inversion de Möbius)

Faut diviser par n je pense

Le 30 mars 2021 à 20:26:18 Motocultage a écrit :
Il va falloir utiliser la formule d'inversion de Möbius ça doit donner qqch comme ça:

Soit A(n,m) le nombre d'arrangement à rotation près. Soit B(n,m) le nombre d'arrangement à rotation près qui sont exactement n-périodiques.

D'autre part, somme pour e|d des e B(n/e,m/e)= m parmi n.

D'où B(n,m)= somme pour e|d des mu(e) * e * (m/e parmi n/e)

(formule d'inversion de Möbius)

Ouah je suis largué, on joue avec des éléments qui ne me sont pas du tout intuitifs :
Si d=pgcd(n,m), on a A(n,m)=somme pour e|d des B(n/e,m/e).

Ne me paraît pas du tout évident

Mais merci à vous deux pour vos idées et votre temps, je garde précieusement ce topic, la question est plutôt sympa.

Je partage tout de même la formule trouvée par PrepaMaths si d'autres voulaient y jeter un oeil :

S = 1/n somme(d divise pgcd(m,n)) phi(d) * (m/d parmi n/d)

(Phi = indicatrice d'Euler )

Le 31 mars 2021 à 10:23:19 BFGFTF a écrit :
Burnside donne la solution (actions de groupe) avec le problème du collier qui est plus général que le tien
Voir cette vidéo -> https://www.youtube.com/watch?v=mRsg2lqEjPM

Il faut que je reprenne les bases pour la théorie des groupes... Mais merci beaucoup pour la vidéo, ça a l'air bien clair !