[MATHS] Le forum en PLS devant la première question de cet exo

Quelqu'un va-t-il réussir à ma sortir une remarque pertinente ? Ou le forum va-t-il se faire pacifier par la première question d'un banal DM de fac ?

Le 21 novembre 2024 à 00:25:25 :
ils sont isomorphes

Dans certains cas seulement ce n'est absolument pas systématique mais si tu as par exemple d premier avec le cardinal de la première courbe et q une puissance de p^e c'est le cas par exemple mais pour des raisons bien spécifiques

1. Expliquez la relation entre les structures des groupes E1(Fq) et E2(Fq).

Puisque phi est un d-isogénie, elle est un morphisme de groupes de degré d, donc elle induit une application entre les groupes E1(Fq) et E2(Fq) qui est surjective avec un noyau de cardinalité d. Ainsi, phi préserve certaines propriétés structurelles du groupe mais modifie la cardinalité. En particulier, si phi est définie sur Fq, alors le nombre de points |E1(Fq)| et |E2(Fq)| sont proches, et leurs cardinalités diffèrent d’un facteur lié au degré d.

2. Sous quelles conditions pourrions-nous utiliser phi pour donner une réduction en temps polynomial entre les problèmes de Logarithme Discret dans E1(Fq) et E2(Fq) ?

Une réduction en temps polynomial entre les problèmes de Logarithme Discret (DLP) dans E1(Fq) et E2(Fq) peut être obtenue si phi est un isomorphisme efficace sur les points Fq-rationnels, ou plus généralement, si phi est un isogénie de petit degré (polynomial en log(q)) et si on peut calculer efficacement son inverse (ou une relation entre les deux problèmes de logarithme). Cela implique que pour un point P dans E1(Fq), on doit pouvoir calculer efficacement l'image phi(P) dans E2(Fq) et, inversement, retrouver P à partir de phi(P).

3. Supposons que E1 soit compatible avec le couplage. E2 est-elle nécessairement compatible avec le couplage ?

Non, E2 n'est pas nécessairement compatible avec le couplage simplement parce que E1 l’est. La compatibilité avec le couplage dépend de la structure spécifique de la courbe et de ses propriétés de torsion, en particulier des sous-groupes de torsion définis sur un corps d'extension approprié. Une isogénie entre deux courbes ne garantit pas que les deux courbes auront des propriétés similaires par rapport aux couplages, car le comportement des sous-groupes de torsion peut varier entre E1 et E2.

Question 1:
Expliquer la relation entre les structures des groupes E1(Fq) et E2(Fq).

Les courbes elliptiques E1 et E2 sont reliées par une d-isogénie O barré,
ce qui signifie qu'il existe une application algébrique de degré d qui
conserve la structure du groupe entre E1(Fq) et E2(Fq).
Une isogénie entre les courbes elliptiques induit un homomorphisme de groupes
sur les points définis sur Fq. Ce type de relation peut notamment permettre
de transférer les propriétés algébriques (par exemple, l'ordre des groupes ou
la structure de sous-groupes particuliers) d'une courbe à l'autre.

Question 2:
Sous quelles conditions pourrait-on utiliser O barré pour donner une réduction
en temps polynomial entre les problèmes de logarithme discret dans E1(Fq) et E2(Fq)?

Pour qu'une réduction en temps polynomial soit possible, O barré doit être un isomorphisme
efficace entre les groupes de points E1(Fq) et E2(Fq). Cela signifie que l'isogénie
O barré doit être bijective et facilement calculable.
Si O barré possède un inverse calculable efficacement (ou s'il existe une dualité entre
E1 et E2 via une isogénie réciproque), alors les problèmes de logarithme discret
sur ces deux courbes seraient équivalents en termes de difficulté, permettant
ainsi une réduction en temps polynomial.

Question 3:
Supposons que E1 soit pairing-friendly. E2 est-elle nécessairement pairing-friendly?

Une courbe elliptique est dite pairing-friendly si elle admet un couplage bilinéaire
non dégénéré (comme le couplage de Weil ou de Tate) qui peut être utilisé pour
des applications cryptographiques.
Cependant, le fait que E1 soit pairing-friendly ne garantit pas automatiquement que
E2 le soit également. La propriété de pairing-friendliness dépend des caractéristiques
spécifiques de la courbe, telles que son nombre de points et son ordre de sous-groupes.
L'isogénie peut préserver certaines structures de groupes mais ne garantit pas toujours
que la nouvelle courbe supporte un couplage exploitable de la même manière.

Un quotient par un sous-groupe d'indice d

Je ne sais pas ce qu'est une isogénie

Le 21 novembre 2024 à 00:33:54 :
O barré c'est chatgpt qui a écrit ça ou alors c'est toi qui a modifié ?

c'est un caractère spécial

Le 21 novembre 2024 à 00:34:49 :

Le 21 novembre 2024 à 00:33:54 :
O barré c'est chatgpt qui a écrit ça ou alors c'est toi qui a modifié ?

c'est un caractère spécial

Mais c'est la lettre phi pas un O barré

Le 21 novembre 2024 à 00:31:12 :
1. Expliquez la relation entre les structures des groupes E1(Fq) et E2(Fq).

Puisque phi est un d-isogénie, elle est un morphisme de groupes de degré d, donc elle induit une application entre les groupes E1(Fq) et E2(Fq) qui est surjective avec un noyau de cardinalité d. Ainsi, phi préserve certaines propriétés structurelles du groupe mais modifie la cardinalité. En particulier, si phi est définie sur Fq, alors le nombre de points |E1(Fq)| et |E2(Fq)| sont proches, et leurs cardinalités diffèrent d’un facteur lié au degré d.

2. Sous quelles conditions pourrions-nous utiliser phi pour donner une réduction en temps polynomial entre les problèmes de Logarithme Discret dans E1(Fq) et E2(Fq) ?

Une réduction en temps polynomial entre les problèmes de Logarithme Discret (DLP) dans E1(Fq) et E2(Fq) peut être obtenue si phi est un isomorphisme efficace sur les points Fq-rationnels, ou plus généralement, si phi est un isogénie de petit degré (polynomial en log(q)) et si on peut calculer efficacement son inverse (ou une relation entre les deux problèmes de logarithme). Cela implique que pour un point P dans E1(Fq), on doit pouvoir calculer efficacement l'image phi(P) dans E2(Fq) et, inversement, retrouver P à partir de phi(P).

3. Supposons que E1 soit compatible avec le couplage. E2 est-elle nécessairement compatible avec le couplage ?

Non, E2 n'est pas nécessairement compatible avec le couplage simplement parce que E1 l’est. La compatibilité avec le couplage dépend de la structure spécifique de la courbe et de ses propriétés de torsion, en particulier des sous-groupes de torsion définis sur un corps d'extension approprié. Une isogénie entre deux courbes ne garantit pas que les deux courbes auront des propriétés similaires par rapport aux couplages, car le comportement des sous-groupes de torsion peut varier entre E1 et E2.

0 pointé, Merci chatgpt...

Puisque phi est un d-isogénie, elle est un morphisme de groupes de degré d, donc elle induit une application entre les groupes E1(Fq) et E2(Fq) qui est surjective avec un noyau de cardinalité d. C' est tout simplement faux notamment en ce qui concerne le noyau (revenir au cas que j'ai énéoncé ou d est premier avec la cardinalité de la première courbe et q de la bonne forme) .

Le 21 novembre 2024 à 00:36:47 :

Le 21 novembre 2024 à 00:34:49 :

Le 21 novembre 2024 à 00:33:54 :
O barré c'est chatgpt qui a écrit ça ou alors c'est toi qui a modifié ?

c'est un caractère spécial

Mais c'est la lettre phi pas un O barré

ouais jle savais hein

Le 21 novembre 2024 à 00:31:31 :
Question 1:
Expliquer la relation entre les structures des groupes E1(Fq) et E2(Fq).

Les courbes elliptiques E1 et E2 sont reliées par une d-isogénie O barré,
ce qui signifie qu'il existe une application algébrique de degré d qui
conserve la structure du groupe entre E1(Fq) et E2(Fq).
Une isogénie entre les courbes elliptiques induit un homomorphisme de groupes
sur les points définis sur Fq. Ce type de relation peut notamment permettre
de transférer les propriétés algébriques (par exemple, l'ordre des groupes ou
la structure de sous-groupes particuliers) d'une courbe à l'autre.

Question 2:
Sous quelles conditions pourrait-on utiliser O barré pour donner une réduction
en temps polynomial entre les problèmes de logarithme discret dans E1(Fq) et E2(Fq)?

Pour qu'une réduction en temps polynomial soit possible, O barré doit être un isomorphisme
efficace entre les groupes de points E1(Fq) et E2(Fq). Cela signifie que l'isogénie
O barré doit être bijective et facilement calculable.
Si O barré possède un inverse calculable efficacement (ou s'il existe une dualité entre
E1 et E2 via une isogénie réciproque), alors les problèmes de logarithme discret
sur ces deux courbes seraient équivalents en termes de difficulté, permettant
ainsi une réduction en temps polynomial.

Question 3:
Supposons que E1 soit pairing-friendly. E2 est-elle nécessairement pairing-friendly?

Une courbe elliptique est dite pairing-friendly si elle admet un couplage bilinéaire
non dégénéré (comme le couplage de Weil ou de Tate) qui peut être utilisé pour
des applications cryptographiques.
Cependant, le fait que E1 soit pairing-friendly ne garantit pas automatiquement que
E2 le soit également. La propriété de pairing-friendliness dépend des caractéristiques
spécifiques de la courbe, telles que son nombre de points et son ordre de sous-groupes.
L'isogénie peut préserver certaines structures de groupes mais ne garantit pas toujours
que la nouvelle courbe supporte un couplage exploitable de la même manière.

Idem soit c'est sorti ton LLM de poche soit il faut mieux lire l'énoncé

L'intérêt de la question est de donner selon notamment d, log_p(q) la structure précise de E1 et E2 sur Fq, notamment quand est ce que l'on a que phi est un isomoprhisme

Le 21 novembre 2024 à 00:26:29 :
Eps 1 est linéaire avec Eps 2

Non sens

Le 21 novembre 2024 à 00:24:29 :
Non le forum ne fera pas tes devoirs

Il en est bien incapable pour le moment