La preuve de l'inégalité de jensen est propre dans le Rudin. Qui peut deviner l'origine des inégalités utilisées dans cette preuve ? (Hint: propriété d'une fonction convexe).
C'est long à écrire... Disons que ça part de l'inégalité suivante et considérant : t = int_Omega f du ; phi est convexe ; f est régulière et comprise entre a et b ;
phi(s) >= phi(t) + B(s-t) avec s dans l'ouverture ]a,b[
D'où : phi(f(x)) - phi(t) - B(f(x) - t ) >= 0
Pas besoin de montrer le reste de la preuve, il manque des éléments, juste l'origine de l'inégalité et deviner B.
Il s'agit des inégalités avec les taux d'accroissement ; résultat classique sur les fonctions convexes ; B est obtenu en prenant un supremum d'un des deux côtés des inégalités