[MATHS] Théorème spectral

Bon, l'objectif de l'exo est a priori de démontrer le th. spectral.
Pour la question 1, ça va : en posant g(x)=<x,x>-1, on voit que D_x(g)(h)=2<x,h>, ne s'annule qu'en x=0 mais 0 n'appartient pas à la sphère unité.
Question 2, on a <M(x+h),x+h>=<Mx+Mh,x+h>=<Mx,x>+2<Mx,h>+<Mh,h> par bilinéarité du produit scalaire et par symétrie de M donc D_x(f)=2<Mx,h>
Question 3, S est compact (image réciproque de {1} par une application continue, et borné car inclus dans la boule fermée B(0,1)) et f y est continue, donc elle admet un maximum dessus
Question 4, on utilise le théorème des extrema liés : il existe A_1 tq D_e1(f(v))=A*D_e1(g(v)) (juste faire le calcul
Donc on voit finalement que e1 est un vecteur propre de M pour la valeur propre A_1.

C'est pour la question 5 que j'bloque. J'imagine qu'il faut faire une récurrence sur la dimension de R^n mais j'sais pas trop comment commencer. Si quelqu'un a une idée, j'suis preneur

Le 07 décembre 2023 à 17:52:55 :
Peut être 177 je sais pas

Toujours pas mais merci.

En tout cas, si on fait une récurrence, le cas n=1 a l'air d'aller.
Le seul vecteur unitaire de R étant u=1, on a M*1=A*1 immédiatement avec M=A avec M une matrice 1*1 donc juste un réel quoi. et 1 étant une base orthonormée de R.

Personne pour m'aider ?

Le 07 décembre 2023 à 18:05:06 :
32

Le 07 décembre 2023 à 18:13:15 :
Utilise les questions précédentes

Le 07 décembre 2023 à 18:13:15 :
Utilise les questions précédentes

Merci clé, mais j'crois bien que les questions précédentes ne servaient qu'à montrer la d).
Qu'on doit évidemment utiliser pour la e) mais j'sais pas trop de quelle manière

Le 07 décembre 2023 à 18:16:04 :
une fois que tu as e1 tu ne peux pas t'interresser à f restreinte à Rn\vect(e1) et refaire le raisonement des 4 premieres questions ?

Comment montrer que les vecteurs sont orthogonaux entre eux à ce moment-là ?

Le 07 décembre 2023 à 18:18:21 :

Le 07 décembre 2023 à 18:16:04 :
une fois que tu as e1 tu ne peux pas t'interresser à f restreinte à Rn\vect(e1) et refaire le raisonement des 4 premieres questions ?

Comment montrer que les vecteurs sont orthogonaux entre eux à ce moment-là ?

tu prends le supplémentaire orthogonal de vect(e1) dans R^n

Le 07 décembre 2023 à 18:18:53 :

Le 07 décembre 2023 à 18:18:21 :

Le 07 décembre 2023 à 18:16:04 :
une fois que tu as e1 tu ne peux pas t'interresser à f restreinte à Rn\vect(e1) et refaire le raisonement des 4 premieres questions ?

Comment montrer que les vecteurs sont orthogonaux entre eux à ce moment-là ?

tu prends le supplémentaire orthogonal de vect(e1) dans R^n

Il faut bien utiliser une récurrence alors ?
n=1 : ok
Supposons la propriété énoncée vraie au rang n. dcp on a quelque chose du genre
par les questions précédentes, e_1 vecteur propre de M. Prenons l'orthogonal de e1, de dimension n (puisqu'on raisonne pour un R^(n+1)). L'hypothèse de récurrence nous assure une base orthonormée (e2,...e_(n+1)) formée des vecteurs propres de la transposée de M (mais M stabilise l'orthogonal de e1 car symétrique donc osef, ce sont les mêmes)
e1 et e2...e_(n+1) sont orthogonaux donc la famille e1...e_(n+1) base orthonormée de R^(n+1)

Grosso modo ça va ?

Quelqu'un pour me dire si le raisonnement au-dessus est à peu près bon ?

Autre question : j'me suis rendu compte que quand j'ai écrit

Question 2, on a <M(x+h),x+h>=<Mx+Mh,x+h>=<Mx,x>+2<Mx,h>+<Mh,h> par bilinéarité du produit scalaire et par symétrie de M donc D_x(f)=2<Mx,h>

J'ai pas dit que <Mh,h> était en o(||h||). On est d'accord que dire que <Mh,h>=h<Mh,1>=h<h,M>=h^2<1,M> c'est bon ?

Le 07 décembre 2023 à 18:25:43 :

Le 07 décembre 2023 à 18:18:53 :

Le 07 décembre 2023 à 18:18:21 :

Le 07 décembre 2023 à 18:16:04 :
une fois que tu as e1 tu ne peux pas t'interresser à f restreinte à Rn\vect(e1) et refaire le raisonement des 4 premieres questions ?

Comment montrer que les vecteurs sont orthogonaux entre eux à ce moment-là ?

tu prends le supplémentaire orthogonal de vect(e1) dans R^n

Il faut bien utiliser une récurrence alors ?
n=1 : ok
Supposons la propriété énoncée vraie au rang n. dcp on a quelque chose du genre
par les questions précédentes, e_1 vecteur propre de M. Prenons l'orthogonal de e1, de dimension n (puisqu'on raisonne pour un R^(n+1)). L'hypothèse de récurrence nous assure une base orthonormée (e2,...e_(n+1)) formée des vecteurs propres de la transposée de M (mais M stabilise l'orthogonal de e1 car symétrique donc osef, ce sont les mêmes)
e1 et e2...e_(n+1) sont orthogonaux donc la famille e1...e_(n+1) base orthonormée de R^(n+1)

Grosso modo ça va ?

e2,...,en t'es sûr que c'est des vecteurs de IR^n+1 ?

Non mais simplement tu refais l'exo sur le supp orth de vect(e1), puis celui de de vect(e1,e2) etc...
ensuite ça te donne n vecteurs orthogonaux donc forcément une base

Le 07 décembre 2023 à 18:39:08 :

Le 07 décembre 2023 à 18:25:43 :

Le 07 décembre 2023 à 18:18:53 :

Le 07 décembre 2023 à 18:18:21 :

Le 07 décembre 2023 à 18:16:04 :
une fois que tu as e1 tu ne peux pas t'interresser à f restreinte à Rn\vect(e1) et refaire le raisonement des 4 premieres questions ?

Comment montrer que les vecteurs sont orthogonaux entre eux à ce moment-là ?

tu prends le supplémentaire orthogonal de vect(e1) dans R^n

Il faut bien utiliser une récurrence alors ?
n=1 : ok
Supposons la propriété énoncée vraie au rang n. dcp on a quelque chose du genre
par les questions précédentes, e_1 vecteur propre de M. Prenons l'orthogonal de e1, de dimension n (puisqu'on raisonne pour un R^(n+1)). L'hypothèse de récurrence nous assure une base orthonormée (e2,...e_(n+1)) formée des vecteurs propres de la transposée de M (mais M stabilise l'orthogonal de e1 car symétrique donc osef, ce sont les mêmes)
e1 et e2...e_(n+1) sont orthogonaux donc la famille e1...e_(n+1) base orthonormée de R^(n+1)

Grosso modo ça va ?

e2,...,en t'es sûr que c'est des vecteurs de IR^n+1 ?

Oui, pourquoi ? C'en sont pas ? C'est juste l'hyp de récurrence non ? J'ai pas suivi.

Le 07 décembre 2023 à 18:42:05 :

Le 07 décembre 2023 à 18:39:08 :

Le 07 décembre 2023 à 18:25:43 :

Le 07 décembre 2023 à 18:18:53 :

Le 07 décembre 2023 à 18:18:21 :

> Le 07 décembre 2023 à 18:16:04 :

>une fois que tu as e1 tu ne peux pas t'interresser à f restreinte à Rn\vect(e1) et refaire le raisonement des 4 premieres questions ?

Comment montrer que les vecteurs sont orthogonaux entre eux à ce moment-là ?

tu prends le supplémentaire orthogonal de vect(e1) dans R^n

Il faut bien utiliser une récurrence alors ?
n=1 : ok
Supposons la propriété énoncée vraie au rang n. dcp on a quelque chose du genre
par les questions précédentes, e_1 vecteur propre de M. Prenons l'orthogonal de e1, de dimension n (puisqu'on raisonne pour un R^(n+1)). L'hypothèse de récurrence nous assure une base orthonormée (e2,...e_(n+1)) formée des vecteurs propres de la transposée de M (mais M stabilise l'orthogonal de e1 car symétrique donc osef, ce sont les mêmes)
e1 et e2...e_(n+1) sont orthogonaux donc la famille e1...e_(n+1) base orthonormée de R^(n+1)

Grosso modo ça va ?

e2,...,en t'es sûr que c'est des vecteurs de IR^n+1 ?

Oui, pourquoi ? C'en sont pas ? C'est juste l'hyp de récurrence non ? J'ai pas suivi.

ah non c'est bon khey