[MATH] petite question VITEUF

Salut les kheys, merci d'avance pour votre aide.

J'ai une matrice carrée A qui n'est pas inversible.
Est-ce que l'affirmation suivante est vraie ?

Il existe epsilon > 0 tel que pour tout x dans ]0,epsilon[, la matrice A+x*Identité est inversible.

Intuitivement je pense que oui mais mon intuition vaut ce qu'elle vaut.

Ah, alors voilà une idée de preuve:

Je fais une réduction de Gauss pour trouver une nouvelle base dans laquelle A s'écrit sous forme triangulaire.
Comme A n'est pas inversible, je vais obtenir (au moins) une ligne de zéros.

Par contre A+x*Identité n'aura pas de ligne de zéros dans cette nouvelle base, donc j'ai bien augmenté le rang.

J'ai l'impression que le seul risque c'est si l'une des lignes de A, dans la nouvelle base, n'a qu'un seul coefficient non-nul: son coefficient diagonal, que je note c. Dans ce cas, si j'ajoute x*Identité et que x=-c, je crée une ligne de zéros. Mais donc ça ne se produit pas si x est suffisamment petit.

Det(A-xIdentite) différent de zéro

Tu résous le polynôme si il a des solutions

Le 18 novembre 2023 à 15:59:27 :
Det(A-xIdentite) différent de zéro

Tu résous le polynôme si il a des solutions

Mais je ne connais pas A, je veux savoir si c'est quelque chose de vrai en règle général donc peu importe A

Le 18 novembre 2023 à 15:46:36 :
Ah, alors voilà une idée de preuve:

Je fais une réduction de Gauss pour trouver une nouvelle base dans laquelle A s'écrit sous forme triangulaire.
Comme A n'est pas inversible, je vais obtenir (au moins) une ligne de zéros.

Par contre A+x*Identité n'aura pas de ligne de zéros dans cette nouvelle base, donc j'ai bien augmenté le rang.

J'ai l'impression que le seul risque c'est si l'une des lignes de A, dans la nouvelle base, n'a qu'un seul coefficient non-nul: son coefficient diagonal, que je note c. Dans ce cas, si j'ajoute x*Identité et que x=-c, je crée une ligne de zéros. Mais donc ça ne se produit pas si x est suffisamment petit.

Maladroit. Il vaut mieux dire que det(A+X*I_n) est un polynôme donc a un nombre fini de racines, donc si tu prends epsilon= la plus petite racine >0, c'est bon.

Le 18 novembre 2023 à 16:48:07 :

Le 18 novembre 2023 à 15:46:36 :
Ah, alors voilà une idée de preuve:

Je fais une réduction de Gauss pour trouver une nouvelle base dans laquelle A s'écrit sous forme triangulaire.
Comme A n'est pas inversible, je vais obtenir (au moins) une ligne de zéros.

Par contre A+x*Identité n'aura pas de ligne de zéros dans cette nouvelle base, donc j'ai bien augmenté le rang.

J'ai l'impression que le seul risque c'est si l'une des lignes de A, dans la nouvelle base, n'a qu'un seul coefficient non-nul: son coefficient diagonal, que je note c. Dans ce cas, si j'ajoute x*Identité et que x=-c, je crée une ligne de zéros. Mais donc ça ne se produit pas si x est suffisamment petit.

Maladroit. Il vaut mieux dire que det(A+X*I_n) est un polynôme donc a un nombre fini de racines, donc si tu prends epsilon= la plus petite racine >0, c'est bon.

Je suis d'acord

Soit M une matrice carrée quelconque de taille n.
Soit P(x)=det(M-xI)
P est polynômial en x et admet au plus n racines.
Soit e la plus petite racine strictement positive de P : P(e)=0
Alors pour tout x dans ]0,e[, P(x)=det(M-xI)=/=0.
M-xI est alors inversible.

Tu as démontré la densité de GLn dans Mn
Question bonus : montre-nous que c'est UK ouvert de Mn