Cours de logique besoin d'aide

La déduction naturelle est censée être correcte et complète.
Donc toute preuve devrait être une tautologie dans la logique propositionnelle ?
Pourtant j'ai l'impression que l'on peut prouver tout et n'importe quoi.
Imaginons que je fasse ça :

Je veux montrer |- a (en DN) :

nom | formule bien formée | explications
f0 | [a] | Hypothèse temp
f1 | a | déduit de f0

En théorie je viens de prouver a en déduction naturelle. Alors que a n'est pas une tautologie vu que a interprété peut donner faux...