[MATHS] Question CON

Soit D un ensemble fini de vecteurs dans R^n.

Pour tout entier positif k, je définis:
vec_k(D) = intersection des vec(S), pour S sous-ensemble de D vérifiant |S| = |D|-k+1.

Par exemple si D=(x1,x2) et que k=1, alors vec_1(D) =vec(D). Et vec_2(D) = vec(x1) inter vec(x2).

Ok, maintenant la question c'est: si je prends k >= |D|+2, à quoi est égal vec_k(D) ? A l'ensemble vide, ou à R^n ?
Par exemple, si D=(x1,x2,x3) et que k=5, ça vaut combien vec_5(D) ?

Le 03 août 2023 à 17:50:48 :
Ben dans ce cas il n'existe pas de sous ensemble S tel que défini donc t'obtiens l'ensemble vide effectivement

J'ai un reviewer de papier qui me dit que j'obtiens R^n dans ce cas là, mais je suis pas d'accord avec lui moi non plus.
Enfin je m'étais jamais trop posé la question de "que vaut une intersection vide" j'avoue

Le 03 août 2023 à 17:52:24 :

Le 03 août 2023 à 17:50:48 :
Ben dans ce cas il n'existe pas de sous ensemble S tel que défini donc t'obtiens l'ensemble vide effectivement

J'ai un reviewer de papier qui me dit que j'obtiens R^n dans ce cas là, mais je suis pas d'accord avec lui moi non plus.
Enfin je m'étais jamais trop posé la question de "que vaut une intersection vide" j'avoue

Ben il dit de la merde
Le seul sous ensemble de cardinal <= 0 de D c'est l'ensemble vide, l'intersection est donc également l'ensemble vide

Le 03 août 2023 à 17:52:24 :

Le 03 août 2023 à 17:50:48 :
Ben dans ce cas il n'existe pas de sous ensemble S tel que défini donc t'obtiens l'ensemble vide effectivement

J'ai un reviewer de papier qui me dit que j'obtiens R^n dans ce cas là, mais je suis pas d'accord avec lui moi non plus.
Enfin je m'étais jamais trop posé la question de "que vaut une intersection vide" j'avoue

Intersection d'une famille qui contient void est void y compris si la famille ne contient que void

Le 03 août 2023 à 17:58:00 :
C'est pas vraiment que je fais une intersection de n ensembles dont l'ensemble vide (auquel cas j'obtiendrais bien l'ensemble vide, aucun doute possible).
C'est plutôt que je ne fais pas d'intersection du tout, enfin je fais une intersection vide.
Par exemple un produit vide ça ne donne pas 0 comme on pourrait s'y attendre mais plutôt 1

Je viens de chopper ça :

On généralise ce concept à une famille d'ensembles (Ei)i€I (non nécessairement réduite à deux ensembles, ni même finie). L'intersection des Ei, notée (intersection)i€I Ei, est l'ensemble des éléments communs à tous les Ei (si I est l'ensemble vide, cette intersection n'est donc pas définie dans l'absolu).

Autant pour moi du coup
C'est à toi et tes lecteurs de conventionner sur ce que vous voulez effectivement

Dès lors que tu prends k >= |D|+2, il n’existe pas de sous-ensemble S de D vérifiant |S| = |D|-k+1, pas même l’ensemble vide, puisque son cardinal est nul

Le problème est donc mal défini, il faudrait plutôt rajouter la condition que k < |D|+2 pour que ça ait du sens

Le 03 août 2023 à 18:01:20 :
Bon visiblement c'est bien le reviewer qui avait raison https://proofwiki.org/wiki/Intersection_of_Empty_Set
c'est relou

Ah, autant se baser sur de la littérature anglophone alors oui

Bon à savoir.. j'aurais intuité comme toi perso, que c'était vide

Mais sa "démo" dans ton lien reste très "conventionnel" on est d'accord, la "preuve" dans ton exemple c'est juste de dire "l'ensemble des x€R^n qui ne vérifient rien de particulier", ok effectivement c'est R^n mais bon, c'est une question de conventions et de mots sah