Le FORUM en sueur DEVANT ce simple EXERCICE de maths !

Soit E un espace vectoriel engendré par n vecteurs, montrer que toute famille de n+1 vecteurs de E est liée.

Il est évidemment interdit d'utiliser des théorèmes qui utilisent ce résultat pour répondre.

Le 02 mai 2023 à 20:57:07 esclave a écrit :
Soit E un espace vectoriel engendré par n vecteurs. Considérons une famille F de n+1 vecteurs de E. Nous allons montrer que cette famille F est liée.
Puisque l'espace vectoriel E est engendré par n vecteurs, cela signifie que tous les vecteurs de E peuvent être exprimés comme une combinaison linéaire de ces n vecteurs.
Soit {v1, v2, ..., vn} une base de E, et F = {w1, w2, ..., w(n+1)} une famille de n+1 vecteurs. Comme les vecteurs w1, w2, ..., w(n+1) appartiennent à E, chaque vecteur wi peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base {v1, v2, ..., vn} :
wi = c1i * v1 + c2i * v2 + ... + cni * vn
Ceci forme un système de n+1 équations linéaires avec n inconnues (les coefficients cji). Selon le théorème de Rouche-Capelli, si le rang de la matrice des coefficients (n) est strictement inférieur au nombre d'équations (n+1), alors il existe une solution non triviale pour ce système. Dans ce cas, cela signifie que certains coefficients cji ne sont pas tous nuls, et donc les vecteurs w1, w2, ..., w(n+1) sont liés.
Ainsi, toute famille de n+1 vecteurs de E est liée.

Ton théorème de Rouché Capelli utilise le résultat qu'il faut démontrer.

Au pif:
idée de la preuve: écrire le n+1 ème vecteur comme CL des n autres vecteurs ?

Un peu comme la preuve pour montrer que l'ensemble P des nbres premiers est de cardinal infini

La preuve c'est juste un pivot de Gauss, faut juste pas s'embrouiller dans les notations.

Le 02 mai 2023 à 22:13:43 :
La preuve c'est juste un pivot de Gauss, faut juste pas s'embrouiller dans les notations.

On raisonne par récurrence sur le nombre n de vecteurs.

Si n=1 le théorème est vérifié, car tous les vecteurs sont proportionnels à un vecteur générateur.

Soit n supérieur ou égal à deux. On suppose que le résultat est vrai au rang n-1.
On se donne une famille x_1,...,x_n génératrice de E. On introduit F le sous-espace engendré par les n-1 premiers vecteurs.
Soient y_0, y_1, ...., y_n des vecteurs de E.

On écrit les y_i = z_i + a_i x_n avec des z_i dans F et des scalaires a_i.
Ou bien tous les a_i sont nuls, et dans ce cas la famille y_0,...,y_n est liée (dans F) par hypothèse de récurrence.
Ou bien l'un des a_i est non-nul, disons a_0 quitte à renuméroter.

Les vecteurs w_i = y_i - a_i/a_0 y_0 sont dans F puisque w_i = z_i - a_i/a_0 z_0 est dans F.
La famille w_1,...,w_n est liée dans F par hypothèse de récurrence, donc il existe des scalaires c_1,...,c_n non-tous nuls tels que c_1 w_1 + ... + c_n w_n = 0. Autrement-dit, on a c_1 y_1 + ... + c_n y_n - (a_1 c_1 + ... + a_n c_n)/a_0 y_0 = 0. En posant c_0 = - (a_1 c_1 + ... + a_n c_n)/a_0 y_0 on obtient une famille de scalaires c_0,c_1,...,c_n non-tous nuls telle que c_0 y_0 + c_1 y_1 + ... + c_n y_n = 0. La famille est donc liée, fin de la récurrence.

Ouais, c'est le plus simple.