MATHS, aide ?

Le 25 avril 2023 à 23:22:11 :

Le 25 avril 2023 à 23:11:07 :
Dans R^2, ça doit être vrai pour k assez grand non?

Si la question que tu te poses est la suivante :

Vrai ou faux, pour tout k>=2, il existe une famille E de 2k+1 vecteurs dans R^2 vérifiant simultanément les trois conditions suivantes:
1) Toute sous-famille obtenue en retirant 2k-1 colonnes (donc toute sous-famille de taille 2) forme une base de R^2.
2) Il existe une sous-famille obtenue en retirant k-1 colonnes (donc de taille k+2) qui ne génère pas R^2 par des combinaisons à coefficients positifs.
3) Les conditions 1) et 2) sont vérifiées par toute famille obtenue en changeant arbitrairement le signe de certains éléments de E.

Alors la réponse est faux. Je ne peux pas te rédiger la preuve (elle n'utilise pas d'outils compliqué mais elle est assez longue) mais vraiment je suis sûr à 100% que c'est faux, malheureusement.
C'est d'ailleurs pour ça que je me suis placé en dimension 3 dans mon énoncé Parce qu'à partir de la dimension 3, ça semble être vrai si je me fie à l'ordi.

ok je te crois, c'est très bizarre de parler de "retirer 2k-1" colonnes par contre

Le 25 avril 2023 à 23:28:44 :

Le 25 avril 2023 à 23:22:11 :

Le 25 avril 2023 à 23:11:07 :
Dans R^2, ça doit être vrai pour k assez grand non?

Si la question que tu te poses est la suivante :

Vrai ou faux, pour tout k>=2, il existe une famille E de 2k+1 vecteurs dans R^2 vérifiant simultanément les trois conditions suivantes:
1) Toute sous-famille obtenue en retirant 2k-1 colonnes (donc toute sous-famille de taille 2) forme une base de R^2.
2) Il existe une sous-famille obtenue en retirant k-1 colonnes (donc de taille k+2) qui ne génère pas R^2 par des combinaisons à coefficients positifs.
3) Les conditions 1) et 2) sont vérifiées par toute famille obtenue en changeant arbitrairement le signe de certains éléments de E.

Alors la réponse est faux. Je ne peux pas te rédiger la preuve (elle n'utilise pas d'outils compliqué mais elle est assez longue) mais vraiment je suis sûr à 100% que c'est faux, malheureusement.
C'est d'ailleurs pour ça que je me suis placé en dimension 3 dans mon énoncé Parce qu'à partir de la dimension 3, ça semble être vrai si je me fie à l'ordi.

ok je te crois, c'est très bizarre de parler de "retirer 2k-1" colonnes par contre

Cette bizarrerie s'explique assez facilement:
En fait la question que je pose peut se reformuler de façon beaucoup plus concise, mais à condition d'employer le vocabulaire approprié. Le vocabulaire en question est ultra spécifique, je parierais du fric sur le fait que littéralement personne sur le forum ne le connaît, d'où le fait que je me refuse à l'employer Ca évite de faire fuir les gens

Bon j'ai une autre proposition, celle-là je suis 100% sûr de sa véracité

Proposition : il existe une famille (v_1, ..., v_2k) de vecteurs de R^2 telle que
pour tout 2k-uplet (e_1, ..., e_2k) dans { -1; +1}^(2k), les deux conditions suivantes sont vérifiées, en appelant (w_1, ..., w_2k) = (e_1*v_1, ..., e_2k*v_2k)
1) pour tous i et j distincts dans {1, ..., 2k}, (w_i, w_j) est libre
2) il existe un demi-plan qui contient k+1 vecteurs parmi les w_i

Ce que tu dis est qu'il apparemment impossible de passer de k+1 à k+2 dans cette proposition

Le 25 avril 2023 à 23:40:43 :
Quand tu parles de demi-plan, tu parles de demi-plan fermé ou de demi-plan ouvert ?

Demi-plan fermé mais ouvert ça marche aussi je crois (quitte à perturber un peu l'hyperplan). De toute façon, pour démontrer l'énoncé original (qui porte sur des combinaisons linéaires à coeff positifs, on n'a besoin que de l'hypothèse demi-plan fermé)

Pour démontrer ma proposition plus haut, l'idée simple est de prendre une droite au hasard. Par comptage, un de deux demi-plans délimités par la droite contient au moins k vecteurs w_i. S'il en contient plus de k+1, c'est bon. Sinon il n'en contient que k. Alors on fait tourner la droite jusqu'à "attraper" un vecteur supplémentaire pour obtenir k+1 vecteurs dans le même demi-plan.

Maintenant je pensais généraliser ça au cas R^3. Prendre un plan, puis prendre un des deux demi-espaces délimité par le plan qui contient au moins k vecteurs. Enfin "tourner" le plan de façon à "attraper" 2 vecteurs supplémentaires dans le demi-espace (on a deux degrés de liberté au lieu de un dans le cas R^2)

Je vais démontrer la proposition suivante :

Proposition : il existe une famille (v_1, ..., v_2k) de vecteurs de R^3 telle que
pour tout 2k-uplet (e_1, ..., e_2k) dans { -1; +1}^(2k), les deux conditions suivantes sont vérifiées, en appelant (w_1, ..., w_2k) = (e_1*v_1, ..., e_2k*v_2k)
1) pour tous i, j, l distincts dans {1, ..., 2k}, (w_i, w_j, w_l) est libre
2) il existe un demi-espace fermé qui contient k+2 vecteurs parmi les w_i

Hum si en fait, la proposition R^2 que j'avais écrite est vraie, mais la démonstration n'est pas aussi immédiate que "attraper" un vecteur en faisant tourner une droite comme je l'avais imaginé dans ma tête

Proposition : il existe une famille (v_1, ..., v_2k) de vecteurs de R^2 telle que
pour tout 2k-uplet (e_1, ..., e_2k) dans { -1; +1}^(2k), les deux conditions suivantes sont vérifiées, en appelant (w_1, ..., w_2k) = (e_1*v_1, ..., e_2k*v_2k)
1) pour tous i et j distincts dans {1, ..., 2k}, (w_i, w_j) est libre
2) il existe un demi-plan qui contient k+1 vecteurs parmi les w_i

Le cas R^3 ne doit plus être très loin à partir de là...