MATHS, aide svp ?

Salut les kheys !
Je cherche une façon de justifier l'affirmation suivante:

Pour tout k>=2, il existe une famille E de 2k+2 vecteurs dans R^3 vérifiant simultanément les trois conditions suivantes:
1) Si l'on retire des éléments de E jusqu'à obtenir une famille qui ne génère plus R^3, peu importe la façon dont on s'y prend il faut retirer 2k éléments.
2) Si l'on retire des éléments de E jusqu'à obtenir une famille qui ne génère plus R^3 via des combinaisons linéaires à coefficients positifs, il existe une façon de procéder pour laquelle on retire strictement moins de k éléments.
3) Si on remplace arbitrairement certains éléments de cette famille par leurs opposés, les conditions 1) et 2) restent vraie sur le nouvel ensemble E' ainsi créé.

Il est facile de démontrer que l'affirmation est fausse quand k=1. A l'inverse, pour k>=2 la propriété semble extrêmement usuelle puisqu'à chaque fois que je fais générer à l'ordinateur une famille aléatoire (hasard uniforme), elle vérifie ces trois conditions.
Même si l'ordinateur m'a convaincu que l'affirmation est vraie, je voudrais désormais le prouver (ou trouver un contre-exemple).

Pourriez-vous m'aider ? Merci
Il me semble assez logique de procéder par récurrence, mais je n'arrive à rien avec cette méthode (ni avec les autres que j'ai pu employer...)

Je reformule :

On vote Comb+(V1, V2, ..., Vn) = {a1*V1 + ... + an*Vn | ai >= 0 }
Pour une famille E(V1, V2,..., Vn) de vecteurs on note E_{b1, b2, b3, ..., bn} = (b1V1, b2V2,...,bnVn) (avec les bi dans {-1, 1} )
On veut montrer qu'il existe une famille E de 2k+2 vecteurs de R^3 telle que :

1) Une sous-famille F de E est génératrice <=> F est de cardinal 3 ou plus.
2) Soit F une sous-famille de E telle que Comb+(F) =/= R^3, il existe une sous-famille F' de E de taille au moins k + 3 telle que comb+(F) = comb+(F')
3) Pour tout (b1, b2, ..., b_{2k+2)) dans {-1,1}^{2k+2}, (1) et (2) restent vraies pour E_{b1,...,b_{2k+2}}

Le 25 avril 2023 à 18:53:50 :
Je ne suis pas sûr que ta condition 2) soit équivalente à la mienne

J'avoue que j'ai du mal à comprendre ta condition 2.

Mais en gros je l'ai interprété comme ça, si tu as une famille non génératrice selon ta règle spéciale tu peux obtenir le même résultat (le même espace engendré avec ta règle spéciale) avec E à lequel tu as ôté moins de k éléments.
E étant de cardinal 2k+2, un telle famille aurait un cardinal K > 2k+2-k = k+2 d'où K >= k+3.

Mais bon c'est formulé chelou ou alors je suis apanyantaide

Le 25 avril 2023 à 18:58:26 :

Le 25 avril 2023 à 18:53:50 :
Je ne suis pas sûr que ta condition 2) soit équivalente à la mienne

J'avoue que j'ai du mal à comprendre ta condition 2.

Mais en gros je l'ai interprété comme ça, si tu as une famille non génératrice tu peux obtenir le même résultat (le même espace engendré) avec E à lequel tu as ôté moins de k éléments.
E étant de cardinal 2k+2, un telle famille aurait un cardinal K > 2k+2-k = k+2 d'où K >= k+3.

Mais bon c'est formulé chelou ou alors je suis apanyantaide

Je reformule mon problème

T'as une famille E de taille 2k+2 qui génère R^3.

-Toutes les sous-familles de E de taille 3 forment des bases de R^3.
-Il existe des sous-familles de E de taille k+3 ne générant pas R^3 par des combinaisons à coefficients positifs. (Nb : si ça se trouve la famille E elle-même ne génère pas R^3 par des combinaisons positives, qui sait. Mais de toutes façons on s'intéresse aux sous-familles.)
-Si tu décidais de changer le signe de certains éléments de E, la deuxième condition serait toujours vérifiée. (Et la première condition aussi, mais ça c'est évident.)

Question: est-ce que cette famille E existe ?

Réponse: L'ordi m'a convaincu que oui, mais je ne sais pas le prouver

Je vais donner une autre formulation du problème parfaitement équivalente, dans un prochain post

Formulation équivalente:
Vrai ou faux:

Pour tout k>=2, il existe un ensemble E de 2k+2 vecteurs de R^3, vérifiant les conditions suivantes:
1) N'importe quel triplet d'éléments de E forme une base.
2) Il existe un vecteur u orthogonal à un hyperplan généré par deux éléments de E, tel qu'au moins k+1 éléments de E ont un produit scalaire strictement positif avec u.
3) Si l'on remplace arbitrairement certains éléments de E par leurs opposés, les conditions 1) et 2) restent vérifiées sur le nouvel ensemble E' ainsi créé.

Le 25 avril 2023 à 19:05:53 :

Le 25 avril 2023 à 18:58:26 :

Le 25 avril 2023 à 18:53:50 :
Je ne suis pas sûr que ta condition 2) soit équivalente à la mienne

J'avoue que j'ai du mal à comprendre ta condition 2.

Mais en gros je l'ai interprété comme ça, si tu as une famille non génératrice tu peux obtenir le même résultat (le même espace engendré) avec E à lequel tu as ôté moins de k éléments.
E étant de cardinal 2k+2, un telle famille aurait un cardinal K > 2k+2-k = k+2 d'où K >= k+3.

Mais bon c'est formulé chelou ou alors je suis apanyantaide

Je reformule mon problème

T'as une famille E de taille 2k+2 qui génère R^3.

-Toutes les sous-familles de E de taille 3 forment des bases de R^3.
-Il existe des sous-familles de E de taille k+3 ne générant pas R^3 par des combinaisons à coefficients positifs. (Nb : si ça se trouve la famille E elle-même ne génère pas R^3 par des combinaisons positives, qui sait. Mais de toutes façons on s'intéresse aux sous-familles.)
-Si tu décidais de changer le signe de certains éléments de E, la deuxième condition serait toujours vérifiée. (Et la première condition aussi, mais ça c'est évident.)

Question: est-ce que cette famille E existe ?

Réponse: L'ordi m'a convaincu que oui, mais je ne sais pas le prouver

Je vais donner une autre formulation du problème parfaitement équivalente, dans un prochain post

C'est faux dès le premier tiret.
Si je prends u = (1,0,0), v = (0,1,0), w = (0,0,1) et z = (1,1,0) et E un ensemble de cardinal pair supérieur ou égal à 4 et qui contient ces 4 vecteurs, alors E est évidemment une famille génératrice.
Pourtant, la sous-famille F = {u,v,z} n'est pas une base, elle est de rang 2 !

Le 25 avril 2023 à 19:14:47 :

Le 25 avril 2023 à 19:05:53 :

Le 25 avril 2023 à 18:58:26 :

Le 25 avril 2023 à 18:53:50 :
Je ne suis pas sûr que ta condition 2) soit équivalente à la mienne

J'avoue que j'ai du mal à comprendre ta condition 2.

Mais en gros je l'ai interprété comme ça, si tu as une famille non génératrice tu peux obtenir le même résultat (le même espace engendré) avec E à lequel tu as ôté moins de k éléments.
E étant de cardinal 2k+2, un telle famille aurait un cardinal K > 2k+2-k = k+2 d'où K >= k+3.

Mais bon c'est formulé chelou ou alors je suis apanyantaide

Je reformule mon problème

T'as une famille E de taille 2k+2 qui génère R^3.

-Toutes les sous-familles de E de taille 3 forment des bases de R^3.
-Il existe des sous-familles de E de taille k+3 ne générant pas R^3 par des combinaisons à coefficients positifs. (Nb : si ça se trouve la famille E elle-même ne génère pas R^3 par des combinaisons positives, qui sait. Mais de toutes façons on s'intéresse aux sous-familles.)
-Si tu décidais de changer le signe de certains éléments de E, la deuxième condition serait toujours vérifiée. (Et la première condition aussi, mais ça c'est évident.)

Question: est-ce que cette famille E existe ?

Réponse: L'ordi m'a convaincu que oui, mais je ne sais pas le prouver

Je vais donner une autre formulation du problème parfaitement équivalente, dans un prochain post

C'est faux dès le premier tiret.
Si je prends u = (1,0,0), v = (0,1,0), w = (0,0,1) et z = (1,1,0) et E un ensemble de cardinal pair supérieur ou égal à 4 et qui contient ces 4 vecteurs, alors E est évidemment une famille génératrice.
Pourtant, la sous-famille F = {u,v,z} n'est pas une base, elle est de rang 2 !

Je cherche à prouver une existence, pas un "pour tout".
Je sais que toutes les familles ne vérifient pas ça, je demande s'il en existe une qui vérifie ça.

Le 25 avril 2023 à 19:15:37 :

Le 25 avril 2023 à 19:14:47 :

Le 25 avril 2023 à 19:05:53 :

Le 25 avril 2023 à 18:58:26 :

Le 25 avril 2023 à 18:53:50 :
Je ne suis pas sûr que ta condition 2) soit équivalente à la mienne

J'avoue que j'ai du mal à comprendre ta condition 2.

Mais en gros je l'ai interprété comme ça, si tu as une famille non génératrice tu peux obtenir le même résultat (le même espace engendré) avec E à lequel tu as ôté moins de k éléments.
E étant de cardinal 2k+2, un telle famille aurait un cardinal K > 2k+2-k = k+2 d'où K >= k+3.

Mais bon c'est formulé chelou ou alors je suis apanyantaide

Je reformule mon problème

T'as une famille E de taille 2k+2 qui génère R^3.

-Toutes les sous-familles de E de taille 3 forment des bases de R^3.
-Il existe des sous-familles de E de taille k+3 ne générant pas R^3 par des combinaisons à coefficients positifs. (Nb : si ça se trouve la famille E elle-même ne génère pas R^3 par des combinaisons positives, qui sait. Mais de toutes façons on s'intéresse aux sous-familles.)
-Si tu décidais de changer le signe de certains éléments de E, la deuxième condition serait toujours vérifiée. (Et la première condition aussi, mais ça c'est évident.)

Question: est-ce que cette famille E existe ?

Réponse: L'ordi m'a convaincu que oui, mais je ne sais pas le prouver

Je vais donner une autre formulation du problème parfaitement équivalente, dans un prochain post

C'est faux dès le premier tiret.
Si je prends u = (1,0,0), v = (0,1,0), w = (0,0,1) et z = (1,1,0) et E un ensemble de cardinal pair supérieur ou égal à 4 et qui contient ces 4 vecteurs, alors E est évidemment une famille génératrice.
Pourtant, la sous-famille F = {u,v,z} n'est pas une base, elle est de rang 2 !

Je cherche à prouver une existence, pas un "pour tout".
Je sais que toutes les familles ne vérifient pas ça, je demande s'il en existe une qui vérifie ça.

Oui ça prouve que ma reformulation était supérieur je suis un génie héhé.

Le 25 avril 2023 à 19:19:17 :
il faut 3 elements non colineaires deux à deux pour que ce soit generateur
edit: et liée bien sur

C'est faux, (1 0 0), (0 1 0) et (1 1 0) ne sont pas colinéaires 2 à 2 et ne génèrent pas R^3.
Mais enfin, si ce que tu essaies de dire c'est que la première condition que j'ai énoncé est extrêmement facile à vérifier, je suis d'accord. Le problème c'est la deuxième et surtout la troisième.

Le 25 avril 2023 à 19:15:37 :

Le 25 avril 2023 à 19:14:47 :

Le 25 avril 2023 à 19:05:53 :

Le 25 avril 2023 à 18:58:26 :

Le 25 avril 2023 à 18:53:50 :
Je ne suis pas sûr que ta condition 2) soit équivalente à la mienne

J'avoue que j'ai du mal à comprendre ta condition 2.

Mais en gros je l'ai interprété comme ça, si tu as une famille non génératrice tu peux obtenir le même résultat (le même espace engendré) avec E à lequel tu as ôté moins de k éléments.
E étant de cardinal 2k+2, un telle famille aurait un cardinal K > 2k+2-k = k+2 d'où K >= k+3.

Mais bon c'est formulé chelou ou alors je suis apanyantaide

Je reformule mon problème

T'as une famille E de taille 2k+2 qui génère R^3.

-Toutes les sous-familles de E de taille 3 forment des bases de R^3.
-Il existe des sous-familles de E de taille k+3 ne générant pas R^3 par des combinaisons à coefficients positifs. (Nb : si ça se trouve la famille E elle-même ne génère pas R^3 par des combinaisons positives, qui sait. Mais de toutes façons on s'intéresse aux sous-familles.)
-Si tu décidais de changer le signe de certains éléments de E, la deuxième condition serait toujours vérifiée. (Et la première condition aussi, mais ça c'est évident.)

Question: est-ce que cette famille E existe ?

Réponse: L'ordi m'a convaincu que oui, mais je ne sais pas le prouver

Je vais donner une autre formulation du problème parfaitement équivalente, dans un prochain post

C'est faux dès le premier tiret.
Si je prends u = (1,0,0), v = (0,1,0), w = (0,0,1) et z = (1,1,0) et E un ensemble de cardinal pair supérieur ou égal à 4 et qui contient ces 4 vecteurs, alors E est évidemment une famille génératrice.
Pourtant, la sous-famille F = {u,v,z} n'est pas une base, elle est de rang 2 !

Je cherche à prouver une existence, pas un "pour tout".
Je sais que toutes les familles ne vérifient pas ça, je demande s'il en existe une qui vérifie ça.

Ce n'est pas ce que tu as écrit, et ce n'est pas non plus équivalent à l'énoncé.
Tu ne sais pas le recopier, donc ce serait plus simple si tu avais une image de l'énoncé exact, parce que des E' qui sortent de nulle part, ça s'appelle de la physique
On ne comprend même pas si tu cherches vraiment une famille de vecteurs qui vérifient simultanément les trois conditions ou pas.

Même le premier point de ton affirmation est très douteux.
Si je prends E non génératrice, ça ne fonctionne que si k = 0
Et même si elle est génératrice, en mathématiques tout doit être explicite et quand on dit "retirer 2k éléments", ça veut dire retirer EXACTEMENT 2k éléments. Pas au plus 2k ou au moins 2k.

Donne-nous un énoncé rigoureux, et on t'aidera

Le 25 avril 2023 à 19:24:43 :

Le 25 avril 2023 à 19:15:37 :

Le 25 avril 2023 à 19:14:47 :

Le 25 avril 2023 à 19:05:53 :

Le 25 avril 2023 à 18:58:26 :

> Le 25 avril 2023 à 18:53:50 :

>Je ne suis pas sûr que ta condition 2) soit équivalente à la mienne

J'avoue que j'ai du mal à comprendre ta condition 2.

Mais en gros je l'ai interprété comme ça, si tu as une famille non génératrice tu peux obtenir le même résultat (le même espace engendré) avec E à lequel tu as ôté moins de k éléments.
E étant de cardinal 2k+2, un telle famille aurait un cardinal K > 2k+2-k = k+2 d'où K >= k+3.

Mais bon c'est formulé chelou ou alors je suis apanyantaide

Je reformule mon problème

T'as une famille E de taille 2k+2 qui génère R^3.

-Toutes les sous-familles de E de taille 3 forment des bases de R^3.
-Il existe des sous-familles de E de taille k+3 ne générant pas R^3 par des combinaisons à coefficients positifs. (Nb : si ça se trouve la famille E elle-même ne génère pas R^3 par des combinaisons positives, qui sait. Mais de toutes façons on s'intéresse aux sous-familles.)
-Si tu décidais de changer le signe de certains éléments de E, la deuxième condition serait toujours vérifiée. (Et la première condition aussi, mais ça c'est évident.)

Question: est-ce que cette famille E existe ?

Réponse: L'ordi m'a convaincu que oui, mais je ne sais pas le prouver

Je vais donner une autre formulation du problème parfaitement équivalente, dans un prochain post

C'est faux dès le premier tiret.
Si je prends u = (1,0,0), v = (0,1,0), w = (0,0,1) et z = (1,1,0) et E un ensemble de cardinal pair supérieur ou égal à 4 et qui contient ces 4 vecteurs, alors E est évidemment une famille génératrice.
Pourtant, la sous-famille F = {u,v,z} n'est pas une base, elle est de rang 2 !

Je cherche à prouver une existence, pas un "pour tout".
Je sais que toutes les familles ne vérifient pas ça, je demande s'il en existe une qui vérifie ça.

Ce n'est pas ce que tu as écrit, et ce n'est pas non plus équivalent à l'énoncé.
Tu ne sais pas le recopier, donc ce serait plus simple si tu avais une image de l'énoncé exact, parce que des E' qui sortent de nulle part, ça s'appelle de la physique
On ne comprend même pas si tu cherches vraiment une famille de vecteurs qui vérifient simultanément les trois conditions ou pas.

Même le premier point de ton affirmation est très douteux.
Si je prends E non génératrice, ça ne fonctionne que si k = 0
Et même si elle est génératrice, en mathématiques tout doit être explicite et quand on dit "retirer 2k éléments", ça veut dire retirer EXACTEMENT 2k éléments. Pas au plus 2k ou au moins 2k.

Donne-nous un énoncé rigoureux, et on t'aidera

C'est exactement ce que j'ai écrit
Premier post:
"Je cherche une façon de justifier l'affirmation suivante: il existe une famille E vérifiant simultanément les trois conditions suivantes:"

Second post :
"T'as une famille E. [listage des 3 propriétés] question: est-ce que cette famille E existe ?"

Troisième post :
"Vrai ou faux:il existe un ensemble E de 2k+2 vecteurs de R^3, vérifiant les conditions suivantes:"

Ca me semble parfaitement clair que je cherche une EXISTENCE et que je veux que les trois propriétés soient vérifiées EN MEME TEMPS

(

Même le premier point de ton affirmation est très douteux.
Si je prends E non génératrice, ça ne fonctionne que si k = 0

Oui, et vu que je cherche à prouver un il existe et pas un pour tout, ça prouve uniquement qu'il faut regarder du côté des familles génératrices. Ce qui semblait déjà assez clair
)

Le 25 avril 2023 à 19:35:15 :
(

Même le premier point de ton affirmation est très douteux.
Si je prends E non génératrice, ça ne fonctionne que si k = 0

Oui, et vu que je cherche à prouver un il existe et pas un pour tout, ça prouve uniquement qu'il faut regarder du côté des familles génératrices. Ce qui semblait déjà assez clair
)

Pour aller dans le sens de Semi-Martingale ton énoncé est pas très clair.

Mais bon c'est une difficulté en soit de définir un problème rigoureusement.

Et de bien choisir les bonnes hypothèses.

Tu parlais de récurrence, c'est une bonne idée.
Est-ce que ton programme pointe vers une preuve constructiviste (ie. est-ce qu'on pourrait trouver une famille qu'on enrichirait progressivement de 2 vecteurs par 2 vecteurs au fur et à mesure qu'on progresse dans l'avancement de la récurrence).

Dans le cas contraire une preuve non-constructiviste serait peut-être plus adaptée.
Mais peut-être que ton ton programme ne te donne pas de telles informations.

Et même si elle est génératrice, en mathématiques tout doit être explicite et quand on dit "retirer 2k éléments", ça veut dire retirer EXACTEMENT 2k éléments. Pas au plus 2k ou au moins 2k.

Ah oui et pour ça:
-La famille est dans R^3 et possède 2k+2 éléments.
Je dis qu'il faut retirer 2k éléments pour qu'elle ne soit plus génératrice (il n'en reste alors plus que 2).
Donc si je comprends bien t'es en train de me dire que j'aurais du préciser "ah oui et si tu retires absolument tous les vecteurs (ou tous sauf 1), là aussi tu n'es pas générateur". Mais évidemment que tu ne l'es plus, c'est vrai pour n'importe quelle famille ça

D'ailleurs je dis "retirer des vecteurs jusqu'à ce que ça ne soit plus générateur", donc oui c'est bien EXACTEMENT 2k vecteurs qu'il faut retirer.

Le 25 avril 2023 à 19:39:31 :

Le 25 avril 2023 à 19:35:15 :
(

Même le premier point de ton affirmation est très douteux.
Si je prends E non génératrice, ça ne fonctionne que si k = 0

Oui, et vu que je cherche à prouver un il existe et pas un pour tout, ça prouve uniquement qu'il faut regarder du côté des familles génératrices. Ce qui semblait déjà assez clair
)

Pour aller dans le sens de Semi-Martingale ton énoncé est pas très clair.

Mais bon c'est une difficulté en soit de définir un problème rigoureusement.

Et de bien choisir les bonnes hypothèses.

Tu parlais de récurrence, c'est une bonne idée.
Est-ce que ton programme pointe vers une preuve constructiviste (ie. est-ce qu'on pourrait trouver une famille qu'on enrichirait progressivement de 2 vecteurs par 2 vecteurs au fur et à mesure qu'on progresse dans l'avancement de la récurrence).

Dans le cas contraire une preuve non-constructiviste serait peut-être plus adaptée.
Mais peut-être que ton ton programme ne te donne pas de telles informations.

Mon programme c'est juste une ligne avec "numpy random family" et après il checke toutes les sous-familles de ce qu'il a généré, c'est pas un programme qui sert à grand chose à part à se convaincre de l'existence de telles familles

Oui ben on avait compris que tu cherches une existence, mais ton énoncé est toujours faux à cet instant.

Dans ton premier post il y a un E' qui pop on ne sait pas d'où. La condition 3) est ambigüe. On ne comprend pas si E' est fixé a priori ou si tu veux que 1) et 2) soient vraies pour chacun des 2^(2k+2) ensembles E' = { epsilon_i e_i | epsilon_i ∈ {-1,1}, 1 <= i <= 2k+2 }, où E = {e_i, 1 <= i <= 2k+2} est une énumaration de E, où les e_i sont deux à deux différents.

Méfie-toi j'ai déjà claqué 3 messages pour te demander de préciser l'énoncé, et comme tu le sais sur ce forum de merde on est limité à 10 messages par jour au niveau 1