[MATHS] Pourquoi on a CREER les FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES ?

Je sais ce que sais et leur utilité mais je veux plutôt dire :

Comment on a trouvé leur existence ?

Fin je veux dire, à quelle moment un gars s'est levé et s'est dit "tiens si on créé des fonctions qui servent pour faire des rotations" ?

Je comprends pas bien, éclairez moi les jean 200 de QI

Le 20 avril 2023 à 15:47:58 :
Elles sont apparues dans le ratio des côtés d'un triangle rectangle, d'abord, pas dans le cercle

Ouai c'est vrai je suis un peu con mais alors comment ça se fait que tout est lié à ces putains de fonctions en physique et en math bordel ?

Le 20 avril 2023 à 15:48:43 :

Le 20 avril 2023 à 15:47:58 :
Elles sont apparues dans le ratio des côtés d'un triangle rectangle, d'abord, pas dans le cercle

Ouai c'est vrai je suis un peu con mais alors comment ça se fait que tout est lié à ces putains de fonctions en physique et en math bordel ?

Parce que les complexes sont basés sur des angles droits et marchent bien pour les rotations, donc on utilise les fonctions trigo

Le 20 avril 2023 à 15:49:37 :

Le 20 avril 2023 à 15:48:43 :

Le 20 avril 2023 à 15:47:58 :
Elles sont apparues dans le ratio des côtés d'un triangle rectangle, d'abord, pas dans le cercle

Ouai c'est vrai je suis un peu con mais alors comment ça se fait que tout est lié à ces putains de fonctions en physique et en math bordel ?

Parce que les complexes sont basés sur des angles droits et marchent bien pour les rotations, donc on utilise les fonctions trigo

Comment ça les complexes sont basés sur des angles droits ?

Le 20 avril 2023 à 15:50:06 :
T'es au courant que trigonométrie ça veut littéralement dire "mesure d'un truc à 3 côtés"?
Sin, cos et tan sont des ratios de côtés de triangle (le plus simple étant le triangle rectangle), la rotation est venue après en foutant le triangle dans son cercle circonscrit.

ouai mais alors pourquoi on retrouve ces fonctions de partout dans plein de phénomènes physiques alors que c'est juste des fonctions déduites de triangle bordelent

Le 20 avril 2023 à 15:50:21 :

Le 20 avril 2023 à 15:49:37 :

Le 20 avril 2023 à 15:48:43 :

Le 20 avril 2023 à 15:47:58 :
Elles sont apparues dans le ratio des côtés d'un triangle rectangle, d'abord, pas dans le cercle

Ouai c'est vrai je suis un peu con mais alors comment ça se fait que tout est lié à ces putains de fonctions en physique et en math bordel ?

Parce que les complexes sont basés sur des angles droits et marchent bien pour les rotations, donc on utilise les fonctions trigo

Comment ça les complexes sont basés sur des angles droits ?

Multiplier un nombre par i c'est faire une rotation de pi/2 dans le plan complexe.

Le 20 avril 2023 à 15:50:21 :

Le 20 avril 2023 à 15:49:37 :

Le 20 avril 2023 à 15:48:43 :

Le 20 avril 2023 à 15:47:58 :
Elles sont apparues dans le ratio des côtés d'un triangle rectangle, d'abord, pas dans le cercle

Ouai c'est vrai je suis un peu con mais alors comment ça se fait que tout est lié à ces putains de fonctions en physique et en math bordel ?

Parce que les complexes sont basés sur des angles droits et marchent bien pour les rotations, donc on utilise les fonctions trigo

Comment ça les complexes sont basés sur des angles droits ?

Bah un complexe est décrit par deux réels dans un axe différent d'un repère cartésien

Le 20 avril 2023 à 15:51:32 :

Le 20 avril 2023 à 15:50:21 :

Le 20 avril 2023 à 15:49:37 :

Le 20 avril 2023 à 15:48:43 :

Le 20 avril 2023 à 15:47:58 :
Elles sont apparues dans le ratio des côtés d'un triangle rectangle, d'abord, pas dans le cercle

Ouai c'est vrai je suis un peu con mais alors comment ça se fait que tout est lié à ces putains de fonctions en physique et en math bordel ?

Parce que les complexes sont basés sur des angles droits et marchent bien pour les rotations, donc on utilise les fonctions trigo

Comment ça les complexes sont basés sur des angles droits ?

Multiplier un nombre par i c'est faire une rotation de pi/2 dans le plan complexe.

Le 20 avril 2023 à 15:52:17 :

Le 20 avril 2023 à 15:50:21 :

Le 20 avril 2023 à 15:49:37 :

Le 20 avril 2023 à 15:48:43 :

Le 20 avril 2023 à 15:47:58 :
Elles sont apparues dans le ratio des côtés d'un triangle rectangle, d'abord, pas dans le cercle

Ouai c'est vrai je suis un peu con mais alors comment ça se fait que tout est lié à ces putains de fonctions en physique et en math bordel ?

Parce que les complexes sont basés sur des angles droits et marchent bien pour les rotations, donc on utilise les fonctions trigo

Comment ça les complexes sont basés sur des angles droits ?

Bah un complexe est décrit par deux réels dans un axe différent d'un repère cartésien

ouai c'est vrai

En tout cas mon topic n'a pas vraiment de sens, simplement ça me rend à la fois fou et à la fois ça me passionne ces putains de fonctions.

Sans parler des inverse, des arg et des putains d'opposés

Le 20 avril 2023 à 15:51:09 :

Le 20 avril 2023 à 15:50:06 :
T'es au courant que trigonométrie ça veut littéralement dire "mesure d'un truc à 3 côtés"?
Sin, cos et tan sont des ratios de côtés de triangle (le plus simple étant le triangle rectangle), la rotation est venue après en foutant le triangle dans son cercle circonscrit.

ouai mais alors pourquoi on retrouve ces fonctions de partout dans plein de phénomènes physiques alors que c'est juste des fonctions déduites de triangle bordelent

Parce que les triangles rectangles sont liés au cercles qui sont liés au rotations. Prends un vecteur qui tourne à vitesse constante, sans faire bouger le centre, le point final du vecteur dessinera un cercle. Maintenant avance le centre linéairement sur un axe et le point dessinera une fonction périodique.

Ton topic a du sens. C'est une question très pertinente.

Je ne sais pas qui est le premier mathématicien à avoir introduit les fonctions trigos, ni dans quel contexte. Il est d'ailleurs probable que leur introduction précède la notion de fonction, puisqu'elles expriment une chose géométrique simple. Mais c'est pas vraiment ça ta question.

Pourquoi les fonctions trigonométriques sont aussi utiles ?

En Physique : parce que les phénomènes périodiques sont très présents**, et tout signal périodique se décompose comme somme de signaux sinusoidaux (cf. séries de Fourier). Ces fonctions ont suffisamment de bonnes propriétés pour permettre cela. Bon c'est pas du tout la seule façon dont elles peuvent intervenir. Il y a beaucoup de choses qui se "projettent", comme ton ombre sur le sol (c'est un exemple parmi des milliers). On peut aussi avoir besoin de projeter des forces, ou autres choses plus abstraites qu'une ombre. Ces fonctions permettent d'exprimer cela. Ce n'est probablement qu'une réponse partielle.

En maths : je vais seulement donner un exemple algébrique, pour donner une idée d'application à laquelle on s'attend pas forcément quand on a un niveau lycée. Si tu comprends pas tout c'est normal. La présentation est plus ou moins suivable au niveau terminal (peut-être terminal+). Tu peux zapper la démo et lire la conclusion si tu veux.

sin(pi/3) = sqrt(3)/2, avec sqrt la racine carré. C'est la hauteur d'un triangle équilatéral de côté 1. Mais on peut en tirer un résultat arithmétique, de la façon suivante, sauf erreur :

cos(pi/3)+i*sin(pi/3) = (1+i*sqrt(3))/2 est une racine primitive sixieme de l'unité, càd que sa puissance 6 vaut 1 mais pas ses puissances inférieures. Mais puisque le calcul n'utilise pas vraiment la valeur de sqrt(3), ni celle de "i" qui n'en a pas vraiment, mais seulement le fait que sqrt(3)^2=3 et i^2=-1, on en déduit que si x est un nombre tel que x^2=-3, alors (1+x)/2 puissance 6 vaut 1 et son cube vaut -1. Donc c'est une racine primitive 6eme de l'unité.

Ça se vérifie facilement : (1+x)^3 = x^3+3x^2+3x+1 = -3x-9+3x+1 = -8. Donc ((1+x)/2)^3=-1.

On en déduit que si dans Z/nZ, n impair, on a un tel x, alors il existe une racine sixieme de l'unité dans Z/nZ et donc 6 divise p-1 (voir "ordre d'un entier modulo n"), càd n=6k+1 pour un certain entier k.

Un tel x existe par définition si -3 est un carré dans Z/nZ.

On peut montrer réciproquement que si 3 divise n-1, et que n=p est premier de la forme 4k+1, alors -3 est un carré dans Z/pZ. Pour la justification cf. un cours d'arithmétique modulaire. On note y ce nombre. En s'inspirant de nouveau des valeurs de sin(pi/3) et cos(pi/3), le carré de 2y-1 devrait être -3.

(2y-1)^2 = 4y^2-4y+1

En multipliant par y et car y^3=-1 (car y^3 racine carré primitive de l'unité, et il y en a qu'une mod p car p premier) :

y(2y-1)^2 = -4-4y^2+y

Donc en sommant les deux expressions (1+y)(2y-1)^2 = -3(1+y). Comme 1+y n'est pas nul, et p premier, on peut diviser par 1+y. 2y-1 = -3.

Bref voilà donc on vient de montrer que -3 (donc 3 car -1 carré mod p, cf. propriétés des carrés mod p) est un carré mod p ssi p est un carré mod 3, pour p premier de la forme 4k+1.

En conclusion, on a montré que pour tout nombre premier p impair de la forme 4k+1 :

3 est un carré mod p <=> p est un carré mod 3

C'est un cas particulier de la "loi de réciprocité quadratique". Il existe des preuves de cette loi utilisant les "sommes de Gauss", qui sont des sommes de sinus / cosinus.

Tout ça pour dire que la trigo c'est pas seulement de la géométrie. Maintenant "pourquoi" la preuve fonctionne ? Parce qu'elle fonctionne, c'est exposé ci-dessus. Mais philosophiquement de façon simple je dirais que la périodicité n'est pas là par hasard et permet ce lien (parmi d'autres) entre fonctions trigos et arithmétique modulaire, donc entre fonctions trigo et arithmétique.

• • on peut se demander pourquoi les phénomènes périodiques sont autant présents en physique. Je te laisse poser cette question sur des forums spécialisés même si j'ai envie de dire qu'il suffit qu'un phénomène retombe sur son état initial (tout le reste étant inchangé) pour qu'il se perpétue et soit présent à nos yeux bien plus que ceux non periodiques, qui s'éteigneraient plus probablement... (c'est qu'une heuristique, ça vaut ce que ça vaut)

Le 20 avril 2023 à 19:31:32 :
Ton topic a du sens. C'est une question très pertinente.

Je ne sais pas qui est le premier mathématicien à avoir introduit les fonctions trigos, ni dans quel contexte. Il est d'ailleurs probable que leur introduction précède la notion de fonction, puisqu'elles expriment une chose géométrique simple. Mais c'est pas vraiment ça ta question.

Pourquoi les fonctions trigonométriques sont aussi utiles ?

En Physique : parce que les phénomènes périodiques sont très présents**, et tout signal périodique se décompose comme somme de signaux sinusoidaux (cf. séries de Fourier). Ces fonctions ont suffisamment de bonnes propriétés pour permettre cela. Bon c'est pas du tout la seule façon dont elles peuvent intervenir. Il y a beaucoup de choses qui se "projettent", comme ton ombre sur le sol (c'est un exemple parmi des milliers). On peut aussi avoir besoin de projeter des forces, ou autres choses plus abstraites qu'une ombre. Ces fonctions permettent d'exprimer cela. Ce n'est probablement qu'une réponse partielle.

En maths : je vais seulement donner un exemple algébrique, pour donner une idée d'application à laquelle on s'attend pas forcément quand on a un niveau lycée. Si tu comprends pas tout c'est normal. La présentation est plus ou moins suivable au niveau terminal (peut-être terminal+). Tu peux zapper la démo et lire la conclusion si tu veux.

sin(pi/3) = sqrt(3)/2, avec sqrt la racine carré. C'est la hauteur d'un triangle équilatéral de côté 1. Mais on peut en tirer un résultat arithmétique, de la façon suivante, sauf erreur :

cos(pi/3)+i*sin(pi/3) = (1+i*sqrt(3))/2 est une racine primitive sixieme de l'unité, càd que sa puissance 6 vaut 1 mais pas ses puissances inférieures. Mais puisque le calcul n'utilise pas vraiment la valeur de sqrt(3), ni celle de "i" qui n'en a pas vraiment, mais seulement le fait que sqrt(3)^2=3 et i^2=-1, on en déduit que si x est un nombre tel que x^2=-3, alors (1+x)/2 puissance 6 vaut 1 et son cube vaut -1. Donc c'est une racine primitive 6eme de l'unité.

Ça se vérifie facilement : (1+x)^3 = x^3+3x^2+3x+1 = -3x-9+3x+1 = -8. Donc ((1+x)/2)^3=-1.

On en déduit que si dans Z/nZ, n impair, on a un tel x, alors il existe une racine sixieme de l'unité dans Z/nZ et donc 6 divise p-1 (voir "ordre d'un entier modulo n"), càd n=6k+1 pour un certain entier k.

Un tel x existe par définition si -3 est un carré dans Z/nZ.

On peut montrer réciproquement que si 3 divise n-1, et que n=p est premier de la forme 4k+1, alors -3 est un carré dans Z/pZ. Pour la justification cf. un cours d'arithmétique modulaire. On note y ce nombre. En s'inspirant de nouveau des valeurs de sin(pi/3) et cos(pi/3), le carré de 2y-1 devrait être -3.

(2y-1)^2 = 4y^2-4y+1

En multipliant par y et car y^3=-1 (car y^3 racine carré primitive de l'unité, et il y en a qu'une mod p car p premier) :

y(2y-1)^2 = -4-4y^2+y

Donc en sommant les deux expressions (1+y)(2y-1)^2 = -3(1+y). Comme 1+y n'est pas nul, et p premier, on peut diviser par 1+y. 2y-1 = -3.

Bref voilà donc on vient de montrer que -3 (donc 3 car -1 carré mod p, cf. propriétés des carrés mod p) est un carré mod p ssi p est un carré mod 3, pour p premier de la forme 4k+1.

En conclusion, on a montré que pour tout nombre premier p impair de la forme 4k+1 :

3 est un carré mod p <=> p est un carré mod 3

C'est un cas particulier de la "loi de réciprocité quadratique". Il existe des preuves de cette loi utilisant les "sommes de Gauss", qui sont des sommes de sinus / cosinus.

Tout ça pour dire que la trigo c'est pas seulement de la géométrie. Maintenant "pourquoi" la preuve fonctionne ? Parce qu'elle fonctionne, c'est exposé ci-dessus. Mais philosophiquement de façon simple je dirais que la périodicité n'est pas là par hasard et permet ce lien (parmi d'autres) entre fonctions trigos et arithmétique modulaire, donc entre fonctions trigo et arithmétique.

• • on peut se demander pourquoi les phénomènes périodiques sont autant présents en physique. Je te laisse poser cette question sur des forums spécialisés même si j'ai envie de dire qu'il suffit qu'un phénomène retombe sur son état initial (tout le reste étant inchangé) pour qu'il se perpétue et soit présent à nos yeux bien plus que ceux non periodiques, qui s'éteigneraient plus probablement... (c'est qu'une heuristique, ça vaut ce que ça vaut)

j'ai pas bien compris ta conclusion philosophique de fin, tu peux développer stp ?