[HELP] des kheys chauds en MATHS ?

Le 26 mars 2023 à 23:23:02 :
7.

Merci du up.

Dans ton cas je dirai que ln(n)^n est négligeable devant n^2 par croissance comparée et donc on se ramène à un problème en somme de 1/n^2, somme de riemann donc converge.
Sinon tu peux prendre un petit o()
Ici t'as un o(1/t^2) or 1/t^2 converge d'où la convergence de la somme de départ.

La deuxième solution est la plus propre maintenant je me relis. Bonne chance pour la prépa .

Pour montrer que la série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln^2(n)}{n^2}$ converge, une technique courante consiste à utiliser le critère de comparaison avec une série convergente. Pour cela, on peut majorer finement la fonction $f(x) = \frac{\ln^2(x)}{x^2}$ par une fonction convergente sur l'intervalle $[1,+\infty[$.

Voici une méthode possible pour effectuer cette majoration :

On remarque que $\ln^2(x) \leq x$ pour tout $x \geq 1$. En effet, $\ln(x) \leq x$ pour tout $x \geq 1$ (ce qui peut être prouvé par exemple en dérivant la fonction $f(x) = x - \ln(x)$), donc en élevant au carré, on obtient $\ln^2(x) \leq x^2$.
On en déduit que $\frac{\ln^2(x)}{x^2} \leq \frac{1}{x}$ pour tout $x \geq 1$.
Or, la série harmonique $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ est une série convergente. On peut donc appliquer le critère de comparaison avec cette série pour conclure que la série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln^2(n)}{n^2}$ converge.
Cette méthode repose sur une majoration grossière de la fonction $f(x)$ par une fonction plus simple, ce qui permet de trouver facilement une série convergente à comparer avec la série étudiée. Il est souvent possible d'affiner cette majoration en utilisant des techniques plus avancées (par exemple des développements limités ou des inégalités plus fines), ce qui peut permettre d'obtenir des résultats plus précis.

Chaud

Le 26 mars 2023 à 23:26:45 :
Dans ton cas je dirai que ln(n)^n est négligeable devant n^2 par croissance comparée et donc on se ramène à un problème en somme de 1/n^2, somme de riemann donc converge.
Sinon tu peux prendre un petit o()
Ici t'as un o(1/t^2) or 1/t^2 converge d'où la convergence de la somme de départ.

La deuxième solution est la plus propre maintenant je me relis. Bonne chance pour la prépa .

Je suis à bout khey, ds de maths vendredi, le prof nous donne des corrections à s’arracher les cheveux tellement il ne détaille pas

Edit : ton post est plus détaillé pour dire, j’ai compris merci. Mon prof a plutôt majoré ln(x) mais sans le dire.

Le 26 mars 2023 à 23:29:26 :

Le 26 mars 2023 à 23:26:45 :
Dans ton cas je dirai que ln(n)^n est négligeable devant n^2 par croissance comparée et donc on se ramène à un problème en somme de 1/n^2, somme de riemann donc converge.
Sinon tu peux prendre un petit o()
Ici t'as un o(1/t^2) or 1/t^2 converge d'où la convergence de la somme de départ.

La deuxième solution est la plus propre maintenant je me relis. Bonne chance pour la prépa .

Je suis à bout khey, ds de maths vendredi, le prof nous donne des corrections à s’arracher les cheveux tellement il ne détaille pas

Je compatis, j'ai DS de physique demain matin à 8h , le con à mis tout le programme de physique de l'année de PSI au programme.
Ça ira au talent une fois encore.

Le 26 mars 2023 à 23:34:02 :

Le 26 mars 2023 à 23:29:26 :

Le 26 mars 2023 à 23:26:45 :
Dans ton cas je dirai que ln(n)^n est négligeable devant n^2 par croissance comparée et donc on se ramène à un problème en somme de 1/n^2, somme de riemann donc converge.
Sinon tu peux prendre un petit o()
Ici t'as un o(1/t^2) or 1/t^2 converge d'où la convergence de la somme de départ.

La deuxième solution est la plus propre maintenant je me relis. Bonne chance pour la prépa .

Je suis à bout khey, ds de maths vendredi, le prof nous donne des corrections à s’arracher les cheveux tellement il ne détaille pas

Je compatis, j'ai DS de physique demain matin à 8h , le con à mis tout le programme de physique de l'année de PSI au programme.
Ça ira au talent une fois encore.

Attends khey, dans mon cas c’est ln(n)^2, c’est différent non ?

Le 26 mars 2023 à 23:35:15 :

Le 26 mars 2023 à 23:34:02 :

Le 26 mars 2023 à 23:29:26 :

Le 26 mars 2023 à 23:26:45 :
Dans ton cas je dirai que ln(n)^n est négligeable devant n^2 par croissance comparée et donc on se ramène à un problème en somme de 1/n^2, somme de riemann donc converge.
Sinon tu peux prendre un petit o()
Ici t'as un o(1/t^2) or 1/t^2 converge d'où la convergence de la somme de départ.

La deuxième solution est la plus propre maintenant je me relis. Bonne chance pour la prépa .

Je suis à bout khey, ds de maths vendredi, le prof nous donne des corrections à s’arracher les cheveux tellement il ne détaille pas

Je compatis, j'ai DS de physique demain matin à 8h , le con à mis tout le programme de physique de l'année de PSI au programme.
Ça ira au talent une fois encore.

Attends khey, dans mon cas c’est ln(n)^2, c’est différent non ?

T'as bien un o(1/t^(3/2)) car ln^2(n)/n^1/2 tends bien vers 0 en + l'infini par croissance comparée.
Or 1/t^(3/2) converge en plus l'infini ( Rienmann avec alpha>1)

En espérant que ça t'aide .
Sur ce, bonne nuit.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_croissances_compar%C3%A9es

Le théorème des croissances comparées te dit que ln^(b)(n)/n^(a) tend vers 0 pour tout b et a>0

Toi tu as une suite de la même forme avec b=2.
Donc l'astuce c'est d'utiliser d'utiliser ce théorème là.

[Parce que si u_n = o(v_n) à l'infini et que v_n est le terme général d'une série convergente alors u_n est aussi le terme général d'une série convergente si elle est de signe constant (au moins dans ce voisinage)]

Petit rappel u_n = o(v_n) c'est que u_n/v_n -> 0 (quand n -> infini)

Prenons par exemple: 1/n^(3/2) qui est le terme général d'une série qui converge absolument (par le critère de Riemann)

n^(3/2) * ln²(n)/n² = ln²(n)/n^(1/2) tend vers 0, autrement dit ln²(n)/n² = o(1/n^(3/2)) quand n -> infini

Donc ta suite est positive et est négligeable (en l'infini) par rapport à 1/n(3/2) donc elle est le terme général d'une série convergente.
Ici ça pose pas de souci mais attention à toujours vérifier que ta suite (ou fonction) est de signe constant dans le voisinage recherché.