[MATH] Besoin d'aide

Salut !
Voici une conjecture que j'ai fait et qui doit pas être trop dure à prouver ou à réfuter, mais qui me bloque quand même.
Je me place dans R^n et je considère l'ensemble C de tous les vecteurs dont les coordonnées sont soit -1 soit 1. Il est donc de taille 2^n.

Ma conjecture c'est que n'importe quel hyperplan qui peut être généré par n-1 vecteurs de C contient au maximum 2^(n-1) éléments de C.

Nb :
-Pour n=1 un hyperplan de R c'est forcément {0} qui ne contient aucun des éléments de C={-1, 1} et donc qui contient effectivement moins de 2^(1-1) éléments.
-Pour n=2, C contient 4 éléments : C={[1 1],[-1 -1], [1 -1], [-1 1]}. Un hyperplan engendré par n-1=1 élément v de C contient toujours exactement 2 =< 2^(2-1) éléments de C : v et -v.

Quelqu'un a un contre-exemple en dimension plus grande, ou une preuve que c'est correct ?

Le 14 décembre 2022 à 02:17:03 :
Ça sert à quoi ta conjecture

A en prouver une autre.

Le 14 décembre 2022 à 02:33:45 :
Go OpenAI khey

This hop hop hop on demande à la sainte ia

UPDATE :
-J'ai réussi à prouver la conjecture énoncée en premier post du topic. Comme je le prévoyais, ce n'était pas bien méchant.
-Maintenant j'ai une deuxième question, pour laquelle là encore je sens que la réponse ne doit pas être bien dure à trouver.

Je prends une famille de n-1 éléments de C qui génère un hyperplan H. Disons H=vec(c1.... c(n-1) ).
Je remplace l'un des c_i par un vecteur de la base canonique qui n'était pas dans H.
Du coup je me retrouve avec un nouvel hyperplan H'. Par exemple ça pourrait être H'= vec( c1...c(n-2), e1).

Question : ce nouvel hyperplan H', est-il possible qu'il contienne strictement plus d'éléments de C que l'ancien hyperplan H ?
Et de façon plus générale, si je remplace non pas 1 mais plusieurs c_i par des vecteurs canoniques, est-il possible que l'hyperplan que je vais ainsi créer contienne strictement plus d'éléments de C que l'hyperplan H ?

Ca semblerait bizarre vu que j'ai littéralement dégagé des éléments de C, mais "ça semble bizarre" n'est pas une preuve, maheureusement.

Le 14 décembre 2022 à 03:40:15 :
UPDATE :
-J'ai réussi à prouver la conjecture énoncée en premier post du topic. Comme je le prévoyais, ce n'était pas bien méchant.
-Maintenant j'ai une deuxième question, pour laquelle là encore je sens que la réponse ne doit pas être bien dure à trouver.

Je prends une famille de n-1 éléments de C qui génère un hyperplan H. Disons H=vec(c1.... c(n-1) ).
Je remplace l'un des c_i par un vecteur de la base canonique qui n'était pas dans H.
Du coup je me retrouve avec un nouvel hyperplan H'. Par exemple ça pourrait être H'= vec( c1...c(n-2), e1).

Question : ce nouvel hyperplan H', est-il possible qu'il contienne strictement plus d'éléments de C que l'ancien hyperplan H ?
Et de façon plus générale, si je remplace non pas 1 mais plusieurs c_i par des vecteurs canoniques, est-il possible que l'hyperplan que je vais ainsi créer contienne strictement plus d'éléments de C que l'hyperplan H ?

Ca semblerait bizarre vu que j'ai littéralement dégagé des éléments de C, mais "ça semble bizarre" n'est pas une preuve, maheureusement.

... bon oubliez. Je suis con en fait, je viens de me rendre compte que ma preuve de la conjecture donne aussi une réponse satisfaisante à cette deuxième question.
Je suis en train de faire du rubber duck explaining en fait j'explique au fofo mes problèmes et le simple fait de les expliquer me permet de trouver un angle d'attaque sur comment les résoudre