[MATHS] Seuls 0.0001% des GENS pourront RÉSOUDRE CELA !

Tiens l'auteur t'as le corrigé là
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/115718#Comment_115718

bon courage pour tes examens

On note n = |G|, z= |Z(G)|, p la probabilité en question, c(x) le cardinal du commutant d'un élément x de G.

p= n^{-2} * somme( c(x) pour x dans G)

Tu sépares la somme selon que x est dans Z(G) ou pas : somme( c(x) pour x dans G) = n*z + somme ( c(x) pour x dans G privé de Z(G))

or si x n'est pas dans Z(G), son commutant est un sous groupe strict de G donc par Lagrange c(x) <= n/2.

Ainsi p <= n^{-2} ( n*z + n/2 (n-z) = z/(2n) + 1/2

G/Z(G) est cyclique ssi G est abélien (facile à montrer), donc a fortiori G/Z(G) est d'ordre au moins 4 (car les groupes d'ordre <= 3 sont cycliques), ie n/z >= 4 donc z/n <= 1/4.

Ca donne donc p <= (1/2)*(1/4) + 1/2 = 5/8.