Pour montrer que la limite uniforme d'une suite de fonctions continues et strictement croissantes sur un compact est elle-même strictement croissante, il suffit de montrer que pour tous x, y dans le compact, avec x < y, il existe un entier naturel N tel que pour tous les entiers naturels n supérieurs à N, la fonction de la suite est strictement croissante en x et y, c'est-à-dire que f_n(x) < f_n(y).
Comme la suite de fonctions converge uniformément vers la limite uniforme f, il existe un entier naturel N tel que pour tous les entiers naturels n supérieurs à N et pour tous les x dans le compact, on a |f_n(x) - f(x)| < 1. Si on pose z = f(x), alors on a |f_n(x) - z| < 1, ce qui signifie que f_n(x) est dans l'intervalle (z - 1, z + 1).
De même, on a |f_n(y) - f(y)| < 1, donc f_n(y) est dans l'intervalle (f(y) - 1, f(y) + 1). Comme f est strictement croissante, on a f(x) < f(y), donc les intervalles (z - 1, z + 1) et (f(y) - 1, f(y) + 1) ne se chevauchent pas. Par conséquent, il existe un entier naturel N tel que pour tous les entiers naturels n supérieurs à N, la fonction de la suite est strictement croissante en x et y, c'est-à-dire que f_n(x) < f_n(y), ce qui montre que la limite uniforme f est elle-même strictement croissante sur le compact.
