[Math] Svp Besoin d'aide pour mon Exo de Premiere S

Bon les ahuris , voila un problème bien posé :

Soit Xn une Variable aléatoire valant {1;-1} avec probabilité 1/2 pour chaque valeur ; (VA de Rademacher)

La Série de terme générale Xn/n converge t-elle ? ( Avec quelle proba ?)

Exo qu'un (très) bon élève de première ES peut résoudre

Bon la solution pour les descos :

Le résultat est 0 ou 1 ; C'est une application direct de la Loi du 0-1 de Kolmogorov.

Il reste a savoir si c'est 0 ou 1 ;
Pour cela on Remarque que La série Sn de terme générale Xn/n est une martingale par rapport a sa propre filtration ;

C'est une martingale bornée L2 par critère de Riemman , Donc c'est une martingale L2 , Sa convergence a Lieu P.S et dans L2 ;
La propriété caractéristique des martingales donne E[S0]=[Sn]=0 , Le lemme de Scheffé et l'unicité permet de conclure sur la limite valant 0 ; avec Proba 1.

Revoyez vos cours , le bac s'annonce difficile
Natural sera la Selecao