[Maths] conjecture pour l'elite

Soit f [0;1] -> [0;1] bijective continue alors il existe g tel que gog = f

vrai, faux, preuve ?

Le 29 décembre 2021 à 03:43:08 :
Soit f [0;1] -> [0;1] bijective continue alors il existe g tel que gog = f

vrai, faux, preuve ?

Quelle propriété veux-tu pour g ? g continue ? g quelconque ?

Si tu veux g continue c'est faux. Si f est bijective continue, elle est strictement monotone. Si f=gog alors g est bijective aussi. Si g est continue alors g est strictement monotone aussi, donc gog=f est strictement croissante. Donc pour toute f strictement décroissante, il n'existe pas de "racine carrée" g continue.

Si f est continue bijective strictement croissante en revanche, g continue existe. On commence par poser g(x)=x pour tout x point fixe de f, puis sur tout intervalle [x,y] avec x,y seuls points fixes de f, on a forcément f(x)>x sur ]x,y[, ou f(x)<x sur ]x,y[. On suppose qu'on se trouve dans le premier cas.
Soit z dans ]x,y[, on a f^n(z) strictement croissante et tend vers y quand n-->+oo, vers x quand n-->-oo.
On choisit un point t dans ]z,f(z)[. On peut alors définir g arbitrairement sur l'intervalle [z,t] telle que g strictement croissante continue et g envoie [z,t] sur [t,f(z)]. Ensuite, on peut étendre récursivement g aux intervalles [f^n(z),f^n(t)] et [f^n(t), f^(n+1)(z)] de sorte que gog=f.

Je traite maintenant le cas où on ne demande plus g continue. Je prétends qu'on peut encore trouver des cas où f n'a pas de racine carrée. On a toujours f=gog bijective implique g bijective.

Pour g bijective, soit O={g^n(x), n entier} une orbite de g, notons N son cardinal (éventuellement infini). Si N est fini et impair, O est aussi une orbite pour gog. Si N est fini pair ou si N est infini l'orbite se décompose en 2 orbites O1 et O2 pour gog, de même cardinal N/2.
On en déduit que pour chaque N pair ou infini, le nombre d'orbites de gog de cardinal N est soit pair, soit infini. En fait, f admet une racine carrée si et seulement si elle vérifie cette condition: il suffit alors de définir g sur les orbites impaires et sur des paires d'orbites de même cardinal pair ou infini.

Il existe des fonctions f continue bijective qui ne vérifient pas cette propriété. (Elles sont forcément strictement décroissante d'après le cas des racines carrées continues).
En effet, on peut prendre f strictement décroissante telle que f(0)=1, f(1/2)=1/2, f(1)=0 et f(x)<1-x sur l'intervalle ]0, 1/2[, et f(x)>1-x sur l'intervalle ]1/2,1[.
Alors f a une orbite de cardinal 1 (le point fixe 1/2), une orbite de cardinal 2 (la paire {0,1}) et que des orbites infinies sinon, donc n'a pas de racine carrée.

Le 30 décembre 2021 à 10:20:33 :

Le 29 décembre 2021 à 03:43:08 :
Soit f [0;1] -> [0;1] bijective continue alors il existe g tel que gog = f

vrai, faux, preuve ?

Quelle propriété veux-tu pour g ? g continue ? g quelconque ?

Si tu veux g continue c'est faux. Si f est bijective continue, elle est strictement monotone. Si f=gog alors g est bijective aussi. Si g est continue alors g est strictement monotone aussi, donc gog=f est strictement croissante. Donc pour toute f strictement décroissante, il n'existe pas de "racine carrée" g continue.

Si f est continue bijective strictement croissante en revanche, g continue existe. On commence par poser g(x)=x pour tout x point fixe de f, puis sur tout intervalle [x,y] avec x,y seuls points fixes de f, on a forcément f(x)>x sur ]x,y[, ou f(x)<x sur ]x,y[. On suppose qu'on se trouve dans le premier cas.
Soit z dans ]x,y[, on a f^n(z) strictement croissante et tend vers y quand n-->+oo, vers x quand n-->-oo.
On choisit un point t dans ]z,f(z)[. On peut alors définir g arbitrairement sur l'intervalle [z,t] telle que g strictement croissante continue et g envoie [z,t] sur [t,f(z)]. Ensuite, on peut étendre récursivement g aux intervalles [f^n(z),f^n(t)] et [f^n(t), f^(n+1)(z)] de sorte que gog=f.

Je traite maintenant le cas où on ne demande plus g continue. Je prétends qu'on peut encore trouver des cas où f n'a pas de racine carrée. On a toujours f=gog bijective implique g bijective.

Pour g bijective, soit O={g^n(x), n entier} une orbite de g, notons N son cardinal (éventuellement infini). Si N est fini et impair, O est aussi une orbite pour gog. Si N est fini pair ou si N est infini l'orbite se décompose en 2 orbites O1 et O2 pour gog, de même cardinal N/2.
On en déduit que pour chaque N pair ou infini, le nombre d'orbites de gog de cardinal N est soit pair, soit infini. En fait, f admet une racine carrée si et seulement si elle vérifie cette condition: il suffit alors de définir g sur les orbites impaires et sur des paires d'orbites de même cardinal pair ou infini.

Il existe des fonctions f continue bijective qui ne vérifient pas cette propriété. (Elles sont forcément strictement décroissante d'après le cas des racines carrées continues).
En effet, on peut prendre f strictement décroissante telle que f(0)=1, f(1/2)=1/2, f(1)=0 et f(x)<1-x sur l'intervalle ]0, 1/2[, et f(x)>1-x sur l'intervalle ]1/2,1[.
Alors f a une orbite de cardinal 1 (le point fixe 1/2), une orbite de cardinal 2 (la paire {0,1}) et que des orbites infinies sinon, donc n'a pas de racine carrée.

merci khey je lis ca