[MATHS] Polynôme P tel que P((1-T^2)/(1+T^2))=0

Le 25 octobre 2021 à 17:38:10 LeKheyMenta a écrit :
Faudrait montrer que p s'annule en une infinité de points.
Apres jsp dis la réponse

Je suis bête en fait il s'annule en effet en une infinité de points puisque t -> (1-t^2)/(1+t^2) prend toutes les valeurs de ]-1,1[. Si quelqu'un a une démonstration algébrique qui marche sur un anneau plus général que R je suis preneur mais ça me suffit là.

Ca marche dans n'importe quel anneau R où 2 n'est pas un diviseur de zéro.

Si P((1-T^2)/(1+T^2))=0, quitte à multiplier par (1+T^2)^d où d=deg P, on obtient
a_d*(1-T^2)^d+....+a_0*(1+T^2)^d=a_d*2^d mod (1+T^2).
Si 2 n'est pas diviseur de zéro, a_d*2^d est non nul, et donc (1+T^2)^d*P((1-T^2)/(1+T^2)) est non nul.

Réciproquement, si 2a=0 dans R, alors 0=2a=a*((1+T^2)+(1-T^2)), donc a+a*(1-T^2)/(1+T^2)=0 bien que P(X)=a+a*X soit non nul.

a_d*(1-T^2)^d+....+a_0*(1+T^2)^d=a_d*2^d mod (1+T^2).

Pas compris

Le 25 octobre 2021 à 22:29:24 :

a_d*(1-T^2)^d+....+a_0*(1+T^2)^d=a_d*2^d mod (1+T^2).

Pas compris

J'ai posé P(X)=a_d X^d+ a_{d-1} X^{d-1} +...+a_0. On remarque que 1-T^2 = 2 mod (1+T^2), ce qui donne le (1+T^2)^d P((1-T^2)/(1+T^2))=a_d*2^d mod (1+T^2)

Le 25 octobre 2021 à 23:57:58 Motocultage a écrit :

Le 25 octobre 2021 à 22:29:24 :

a_d*(1-T^2)^d+....+a_0*(1+T^2)^d=a_d*2^d mod (1+T^2).

Pas compris

J'ai posé P(X)=a_d X^d+ a_{d-1} X^{d-1} +...+a_0. On remarque que 1-T^2 = 2 mod (1+T^2), ce qui donne le (1+T^2)^d P((1-T^2)/(1+T^2))=a_d*2^d mod (1+T^2)

Ah oui d'accord, c'est remarquable.