[Help Maths] aidez-moi les kheys je suis en PLS. :-(

Voilá je fais un exo pour préparer ma rentrée en L2 de maths et je me rends compte á quel point j'ai rien glandé pendant les vacs.

L'énoncé est pourtant simple.

Existe-t-il une fonction f : [0, 1] ----> R dérivable telle que l'ensemble des points de discontinuité de f' soit de mesure a > 0 , et existe-t-il f telle que l'ensemble des points de discontinuité de f' soit de mesure 1 = mes([0, 1]) ?
Bien sur je parle de la mesure usuelle de Lebesgue.

1h30 que je suis en PLS.

Le 13 septembre 2021 à 20:52:33 :
Par exemple je pose J(n) = {x, |f'(x+) - f'(x)| > 1/n } et l'ensemble des points de discontinuités est l'union des J(n) mais j'arrive meme pas á montrer que J(n) est mesurable.

La limite à droite existe ?

Le 13 septembre 2021 à 20:52:33 :
Par exemple je pose J(n) = {x, |f'(x+) - f'(x)| > 1/n } et l'ensemble des points de discontinuités est l'union des J(n) mais j'arrive meme pas á montrer que J(n) est mesurable.

La dérivée est mesurable (c'est un élément de la première classe de Baire).
Par exemple, f' est la limite simple des f_n(x) = n * (f(x+1/n) - f(x)) qui sont mesurables.

La quantité f'(x+) n'existe pas a priori. Mais comme f' vérifie quand même le « théorème des valeurs intermédiaires » (théorème de Darboux) les limites à droite et à gauche existent. Là aussi f'(x+) est mesurable (c'est une limite simple de fonctions mesurables).

Le 13 septembre 2021 à 20:59:06 :

La limite à droite existe ?

Au sens du inf { q rationnel, q > x, |f(q) - f(x)| } > 0 plutot.
Si il y a une discontinuité c'est que le truc á droite n'est pas égal au truc á gauche.

Bien joué le coup de f' comme limite simple de fonctions continues.

Donc comme f' vérifie la propriété des valeurs intermédiaires, l'ensemble des points de discontinuité est toujours de mesure nulle ?

"Le F sigma des points de discontinuités de f' est maigre"

Donc il ne contient aucune boule donc il est de mesure nulle ?

Parce qu'en passant au complémentaire j'en déduis juste, par baire, que le G delta des points de continuités contient un ouvert.

On peut aussi montrer que les limites à gauche et à droite existent via le théorème des accroissements finis je pense, Darboux c'est un peu trop violent comme argument.
Non l'ensemble des points de discontinuité n'a pas toujours une mesure nulle.

Déjà, comme la dérivée est dans la première classe de Baire, l'ensemble de ses points de discontinuité est maigre. Et un ensemble maigre ça peut avoir une mesure de Lebesgue non nulle (genre un Cantor gras).

Donc il ne contient aucune boule donc il est de mesure nulle ?

C'est plus subtil que ça... même pour des trucs plus cons.
Genre S = les irrationnels de [0,1]. Ben S ne contient aucun intervalle ouvert, pourtant sa mesure est pleine.

C'est donc subtil.

On sait que f' est mesurable et que ses points de discontinuités forment un F sigma maigre. En prenant le complémentaire les points de continuités dorment un G delta d'intérieur non vide. C'est déjá pas mal.