Topic de
Gorballico
:
(Maths) Toute isométrie de R^n est bijective
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Bonjour,
Je ne comprends pas bien pourquoi toute isométrie de R^n est bijective, j'ai compris pour l'injectivité mais pour la surjectivité je vois pas comment faire
Quelqu'un a une idée ?
Je ne comprends pas bien pourquoi toute isométrie de R^n est bijective, j'ai compris pour l'injectivité mais pour la surjectivité je vois pas comment faire
Quelqu'un a une idée ?
Par dimension l'injectivite suffit 
(si tu parles d'isometrie vectorielle )
)J'entends par isométrie une application bijective de X dans X qui préserve les distances(X est un espace métrique)
Je ne comprends pas comment montrer que f est affine
Je ne comprends pas comment montrer que f est affine
J'ai fais les calculs
Pour le 1) c'est bon
Pour le 2 c'est bon
J'ai de plus montrer ||g(ax)-ag(x)||=0
J'en déduit que g(x+y)=g(x)+g(y) et g(ax)=ag(x)
Donc g est linéaire, et même orthogonale d'après 1)
De plus, g(x-M)=f(x)-f(M), càd f(x)=g(x)+w avec w=f(M)-g(M)
Cela montre que f est affine de partie linéaire orthogonale
De plus, ker(g)={0} car ||g(x)||=||x|| donc d'après le théorème du rang dim(im(g))=n donc g est bijectif, et par composition de bijection f est bijectif.
J'ai tout bon ?
Pour le 1) c'est bon
Pour le 2 c'est bon
J'ai de plus montrer ||g(ax)-ag(x)||=0
J'en déduit que g(x+y)=g(x)+g(y) et g(ax)=ag(x)
Donc g est linéaire, et même orthogonale d'après 1)
De plus, g(x-M)=f(x)-f(M), càd f(x)=g(x)+w avec w=f(M)-g(M)
Cela montre que f est affine de partie linéaire orthogonale
De plus, ker(g)={0} car ||g(x)||=||x|| donc d'après le théorème du rang dim(im(g))=n donc g est bijectif, et par composition de bijection f est bijectif.
J'ai tout bon ?
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Données du topic
- Auteur
- Gorballico
- Date de création
- 7 août 2021 à 11:08:38
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