Tu as une équation différentielle linéaire d'ordre 1 :
(E) : f'(x) + a(x)*f(x) = b(x)
Avec ici a et b deux fonctions constantes : a(x) = 1/2 et b(x) = 10
Pour résoudre cette équation différentielle, il faut trouver les solutions de l'équation homogène (H) : f'(x) + a(x)*f(x) = 0 et une solution particulière de (E)
Les solutions de (E) s'écrivent comme la somme des solutions de l'équation homogène et d'une solution particulière.
- Résolution de l'équation homogène :
a est une fonction continue sur R (puisque constante), elle admet une primitive sur R, qu'on note A
Ici on peut prendre A(x) = x/2
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme : f(x) = C*exp(-A(x)) avec C une constante (cf cours)
donc ici f(x) = C*exp(-x/2)
- Recherche d'une solution particulière :
La recherche de ta solution particulière dépend de la forme de ton équation différentielle. Tu peux dans les cas simples en trouver une de façon intuitive, sinon tu dois utiliser la méthode de la variation de la constante.
Puisqu'ici a et b sont constants, une solution particulière est particulièrement évidente : la fonction constante égale à b/a sur R. En effet cette fonction est constante donc sa dérivée est nulle, et on a bien a*b/a = b
donc ici une solution particulière est f(x) = 20
Les solutions de (E) sont les fonctions de la forme : f(x) = C*exp(-x/2) + 20 avec C une constante
Cette constante peut-être déterminée à l'aide d'une condition initiale.
Ici on a f(0) = 220
On injecte dans notre expression de f : C*exp(0) + 20 = 220
Ce qui donne C = 200
Finalement, f(t) = 200*exp(-t/2) + 20
