[Maths] Prépa : suites de fonctions définie de manière récurrente

Les kheys je dois traiter pour ce soir un exercice, mais j’ai de mal à voir par où prendre le problème... Tout élément de résolution, même infime est vraiment le bienvenu!

Merci d’avance les clefs...

Le 08 février 2021 à 10:40:12 321iom a écrit :
La question 1 par récurrence car U0 l'est trivialement, et au rang n+1 tu sommes 1 qui est continue et tu primitives un produit de fonctions continues donc c'est bien continue

D’accord, merci beaucoup pour ton aide kheyou! Je vais faire ça, j’avais pensé à une récurrence pour la 2, mais pas pour la 1...

Le 08 février 2021 à 10:46:18 321iom a écrit :
D'ailleurs j'ai dis une connerie, j'ai dis produits de fonction continue je voulais dire composé, désolé le lundi matin

Pas de problème tkt! Je viens de mettre composée dans la rédaction

3) critère de Cauchy en écrivant que u_(n+p) - u_n = u_(n+p) - u_(n+p-1) + u_(n+p-1) - u_(n+p-2) + ... + u_(n+1) - u_n et question 2) (tu majores brutalement par le reste d'une série convergente, i.e. la série exponentielle, et ce indépendamment de p)

4) critère de Cauchy uniforme en majorant x par 1

Le 08 février 2021 à 11:02:22 KompaktBanach a écrit :
3) critère de Cauchy en écrivant que u_(n+p) - u_n = u_(n+p) - u_(n+p-1) + u_(n+p-1) - u_(n+p-2) + ... + u_(n+1) - u_n et question 2) (tu majores brutalement par le reste d'une série convergente, i.e. la série exponentielle, et ce indépendamment de p)

4) critère de Cauchy uniforme en majorant x par 1

On se comprend.

Le 08 février 2021 à 11:02:59 PaladinLumineux a écrit :

Le 08 février 2021 à 11:02:22 KompaktBanach a écrit :
3) critère de Cauchy en écrivant que u_(n+p) - u_n = u_(n+p) - u_(n+p-1) + u_(n+p-1) - u_(n+p-2) + ... + u_(n+1) - u_n et question 2) (tu majores brutalement par le reste d'une série convergente, i.e. la série exponentielle, et ce indépendamment de p)

4) critère de Cauchy uniforme en majorant x par 1

On se comprend.

Je confirme la compréhension mutuelle (j'avais écrit mon message sans voir le tien)

Daccord, merci pour tous ces éléments! J’avais en effet pas vu Cauchy uniforme sous cet angle la (définition avec la somme de q+1 a p)

Et pour la 2, j’avais instinctivement pensé à dire que comme x est dans 0;1, Un+1 - Un -> 0 lorsque tend vers +inf par les gendarmes, c’est à dire que du coup cette suite de fonctions CVS vers u = 1... Peut être que c’est plus simple mais aussi beaucoup moins rigoureux que les méthodes que vous avez avancé...

Merci beaucoup en tout cas!

Le 08 février 2021 à 11:15:51 Tr4qu3ur a écrit :
Daccord, merci pour tous ces éléments! J’avais en effet pas vu Cauchy uniforme sous cet angle la (définition avec la somme de q+1 a p)

Et pour la 3, j’avais instinctivement pensé à dire que comme x est dans 0;1, Un+1 - Un -> 0 lorsque tend vers +inf par les gendarmes, c’est à dire que du coup cette suite de fonctions CVS vers u = 1... Peut être que c’est plus simple mais aussi beaucoup moins rigoureux que les méthodes que vous avez avancé...

Merci beaucoup en tout cas!

Attention en fonction de ton niveau et ce que tu as vu à l'école, maitrise déjà ce qui t'as été enseigné. Si tu 'nas pas encore vu cauchy uniforme, ton critère marche pour la 3 et pour la 4 revient à la déf de convergence uniforme (pour tout epsilon il existe n0...).
Ici ça se fait facilement: pour un epsilon arbitraire, tu poses n0 tq epsilon < x^(n0+1)/(n0+1)! qui satisfait le critère.

Le 08 février 2021 à 11:23:39 321iom a écrit :

Le 08 février 2021 à 11:15:51 Tr4qu3ur a écrit :
Daccord, merci pour tous ces éléments! J’avais en effet pas vu Cauchy uniforme sous cet angle la (définition avec la somme de q+1 a p)

Et pour la 3, j’avais instinctivement pensé à dire que comme x est dans 0;1, Un+1 - Un -> 0 lorsque tend vers +inf par les gendarmes, c’est à dire que du coup cette suite de fonctions CVS vers u = 1... Peut être que c’est plus simple mais aussi beaucoup moins rigoureux que les méthodes que vous avez avancé...

Merci beaucoup en tout cas!

Attention en fonction de ton niveau et ce que tu as vu à l'école, maitrise déjà ce qui t'as été enseigné. Si tu 'nas pas encore vu cauchy uniforme, ton critère marche pour la 3 et pour la 4 revient à la déf de convergence uniforme (pour tout epsilon il existe n0...).
Ici ça se fait facilement: pour un epsilon arbitraire, tu poses n0 tq epsilon < x^(n0+1)/(n0+1)! qui satisfait le critère.

J’ai vu très brièvement Cauchy uniforme (pas d’application en exercice mais uniquement cours) , mais je vais explorer cette piste de revenir à la définition de la CVU, merci encore!