Problème de math

Hello, je bloque sur un exo de math
C'est du niveau terminal donc ça devrait être trivial pour vous du coup

(C'est une affirmation)
Selon mon prof elle est fausse, mais je trouve pas de contre exemple pour le coup

Merci d'avance

• go 15-18

L'affirmation est vraie.
En effet :

(U(n)) converge vers 1.
Donc la suite (U(n+1)) converge également vers 1.

Donc (u(n+1) + u(n)) /2 a bien pour limite 1.

Par contre ce qui est faux c'est la réciproque :
Tu peux trouver des suites (u(n)) telles que u(n)+u(n+1) tend vers 2 sans pour autant que u(n) tende vers 1.

Par exemple :
La suite telle que u(n) =2 si n est pair et u(n)=0 si n impair.

Le 14 février 2021 à 11:59:43 Afdeux a écrit :
Non l'affirmation est fausse. Suffit de trouver un contre exemple pour le prouver.

J'ai prouvé dans mon post précédent qu'elle est vraie

On peut même faire la preuve via les epsilon.

Soit e > 0.
Soit N tel que pour tout n>N, on ait |u(n)-1| < e/2.
Alors pour tout n > N :
|u(n+1)+u(n) -2| = |u(n+1)-1 + u(n) -1| =< |u(n+1)-1| + |u(n)-1| =< e. (inégalité triangulaire)

Voilà, donc la limite de u(n+1)+u(n) est bien de 2, et donc la limite de (u(n+1)+u(n))/2 est bien de 1.

Mais c'était même pas la peine de faire une preuve si formelle pour s'en convaincre, cf mon post précédent.

Bref, ce qui est faux, je répète, c'est la réciproque.

Le 14 février 2021 à 12:00:36 Drouble a écrit :
C'est ecrit U(n+1) + U(n) ou U(n) + 1 + U(n)?

Bah, j'imagine que s'il fallait comprendre U(n) + 1 + U(n), l'auteur serait suffisamment dégourdi pour comprendre que ça vaut 2U(n)+1, donc que la fraction devient U(n)+1/2 qui converge trivialement vers 1.5 et non pas vers 1

Le 14 février 2021 à 13:36:47 BloodAndWhine a écrit :
Je suis d'accord avec ce raisonnement mais mon prof de math dit que l'affirmation est fausse

Bah il se trompe.
Et tu peux lui montrer les deux preuves que j'ai écrites (notamment celle avec le "soit e >0" qui est la plus formelle)