On raisonne sur l'ensemble K_n des entiers de l'intervalle [0;n], où n est strictement positif. (On prendra d'ailleurs n > 4 pour éviter tout souci.)
Distinguons alors deux situations :
-Si n est pair, alors n-1 est impair et strictement supérieur à 4. De plus, 3(n-1)+1= 3n-2 > n, donc 3(n-1)+1 n'est pas dans K_n. On ne peut donc pas atteindre "1" en partant de (n-1) tout en restant dans K_n.
-Si n est impair alors 3n+1 n'est pas dans K_n car ce nombre est strictement supérieur à n.
Donc on ne peut pas atteindre "1" en partant de n tout en restant dans K_n.
Conclusion : Quelle que soit la valeur de n>4, l'affirmation "Pour tout élément k de K_n, la suite de Syracuse de premier terme k finit par atteindre 1 et est composée uniquement d'éléments de K_n" est fausse.
Appelons A(n) cette affirmation.
On considère maintenant la suite (S(n)), à valeur dans {Vrai;Faux}, telle que S(n) indique si A(n) est vraie ou fausse.
Par ce qui précède, la suite (S(n)) est la suite constante égale à "Faux."
Ainsi, lorsque n tend vers l'infini, cette suite converge trivialement vers "Faux".
Or lorsque n tend vers l'infini, K_n converge vers l'ensemble des entiers naturels tel qu'on le connait.
Ainsi, la suite d'affirmations (A(n)) converge vers l'affirmation "Pour tout élément k de l'ensemble des entiers naturels, la suite de Syracuse de premier terme k finit par atteindre 1". Nommons A cette affirmation.
La véracité (ou non) de A est donnée par la valeur limite de la suite (S(n)). Or cette valeur limite est "faux."
Donc l'affirmation "A" est fausse.
Donc la conjecture de Syracuse est fausse.
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