[ENIGMES] Sept énigmes avec des chiffres

Salut les khey, je vous propose sept énigmes, si vous galérez vraiment je vous donnerai la réponse de la première, quand vous les aurez toutes résolues je vous en donnerai sept autres.
Notez que l'ordre n'a aucun rapport avec la difficulté. Vous pouvez donner les réponses dans l'ordre que vous voulez mais en indiquant le numéro de la question. Je peux tenir le score si vous voulez mais le but c'est surtout que vous les résolviez toutes, peu importe qui.
Bonne chance !

1 - Les 2013 membres d'une secte ont décidé de se suicider. Pour effectuer le rituel funèbre, ils se mettent en cercle, puis se numérotent dans l'ordre de 1 à 2013.
On commence à compter, à partir du numéro 1. Toutes les 7 positions, la personne désignée devra mourir. Ainsi, la première à mourir aura le no 7, la deuxième le 14, la troisième le 21, etc.
Vous faites partie de cette secte, mais vous n'avez aucune envie de mourir! Il s'agit donc de trouver la position sur le cercle qui vous permettra d'être désigné en dernier, et donc d'échapper à la mort.

Quelle est la position qui vous sauvera ?

2 - Étonnamment, il y a seulement trois nombres qui peuvent être écrits comme la somme des puissances quatrièmes de leurs chiffres :

1634 = 14 + 64 + 34 + 44
8208 = 84 + 24 + 04 + 84
9474 = 94 + 44 + 74 + 44

On ne compte pas 1 = 14 car ce n'est pas une somme.

La somme de ces nombres est 1634 + 8208 + 9474 = 19316.

Trouver la somme de tous les nombres qui peuvent être écrits comme la somme des puissances cinquièmes de leurs chiffres.

3 - 145 est un nombre curieux. En effet, 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145.

Trouver le produit de tous les nombres qui sont égaux à la somme de la factorielle de leurs chiffres.

Remarques:

1! = 1 et 2! = 2 ne sont pas des sommes et ne seront pas incluses dans le produit.

Rappelons que 0! = 1

4 - Le nombre 242 est le début d'une suite de quatre entiers consécutifs ayant le même nombre de diviseurs. En effet, 242, 243, 244 et 245 ont chacun 6 diviseurs :

242 : 1, 2, 11, 22, 121, 242
243 : 1, 3, 9, 27, 81, 243
244 : 1, 2, 4, 61, 122, 244
245 : 1, 5, 7, 35, 49, 245

Considérons les entiers inférieurs à 50'000.
Quel est le plus petit entier qui est le début de la plus longue suite d'entiers ayant le même nombre de diviseurs ?

5 - Deux nombres de 4 chiffres ont la propriété suivante : abcd = ab2 + cd2.

1233 = 122 + 332
8833 = 882 + 332

Quel est le plus grand nombre de 8 chiffres de ce type : abcdefgh = abcd2 + efgh2 ?

6 - La moyenne des carrés des nombres entiers de 1 à 5 est égale à (1+4+9+16+25)/5 = 11.
La moyenne des carrés des nombres entiers de 1 à 77 est égale à 2015.

Combien de nombres entiers positifs strictement inférieurs à un milliard sont égaux à la moyenne des carrés des nombres entiers consécutifs de 1 jusqu'à un certain nombre ?

Remarque : la moyenne d'un seul nombre est égale à ce nombre.

7 - Considérons ab pour 2 ≤ a ≤ 5 et 2 ≤ b ≤ 5 :

22=4, 23=8, 24=16, 25=32
32=9, 33=27, 34=81, 35=243
42=16, 43=64, 44=256, 45=1024
52=25, 53=125, 54=625, 55=3125

Si l'on trie ces nombres dans l'ordre croissant, en supprimant les répétitions, on obtient une suite de 15 termes distincts :

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 64, 81, 125, 243, 256, 625, 1024, 3125

Combien y a-t-il de termes distincts dans la suite obtenue comme ci-dessus pour 2 ≤ a ≤ 1000 et 2 ≤ b ≤ 1000 ?

Bah en fait pour le 1er comme 2013 est premier avec 7 on sait que 7k [2013] va parcourir dans lordre tous les entiers. Pour savoir ce quil y a en dernier bah suffit de faire 7 - 7 modulo 2013 (cest une boucle)

Donc 0 calcul en fait

Le 01 décembre 2019 à 23:11:52 Jai3problemes a écrit :
Bah en fait pour le 1er comme 2013 est premier avec 7 on sait que 7k [2013] va parcourir dans lordre tous les entiers. Pour savoir ce quil y a en dernier bah suffit de faire 7 - 7 modulo 2013 (cest une boucle)

Donc 0 calcul en fait

J'ai trouvé 2008 perso

J'ai pas assez de connaissances en maths mais j'vais essayer de faire le premier.

Soit la suite Un+1 = Un - (le nombre de multiples de 7 dans Un) avec U0 = 2013, on récupère le nombre de termes de cette suite (de 2013 à 0) et ça nous donne le nombre de décalages qu'on a à faire par rapport à la première personne.

Par exemple si la suite a 23 termes, alors on devra prendre la 23ème place et si ce nombre se révèle être un multiple de 7 alors il faudra tout simplement prendre le nombre suivant...

En fait j'ai le bon raisonnement mais j'arrive pas à le poser en maths pck je suis nul en maths.