AIDE MATHS NIV SUP

Pour la 4 c'est simple.

Tu as que |f'(x) - f'(y)| < M |x-y| vu que la fonction est Lip.

Donc |f'(u)| = |f'(u) - f'(c_{n}) + f'(c_{n})| <|f'(u) - f'(c_{n})| + |f'(c_{n})|

.|f'(u) - f'(c_{n})| < M |u - c_{n}| < M |x_{n} - x_{n+1}| = M * e/M = e [ car x_{n+1} - x_{n} = e/M]
. |f'(c_{n})| < e²/[M ( x_{n+1} - x_{n}] = e^{2} * M/(e M) = e

Donc: |f'(u)| <2 e

Pour la 5 :

Tu as que pour tout u dans [x_{n}, x_{n+1}]: |f'(u)| < 2e = 2 M x_{n}/n [ne pas oublier comment est défini x_{n}]

Regarder lim {x -> + inf} f'(x) c'est pareil que regarder f'(u) dans le cadre dans haut lorsque n tend vers l'infini vu que lorsque n va vers l'infini, x_{n} aussi. Donc le u ira aussi à l'infini.

Du coup on a, par la borne identifiée en haut que ça tendra vers 0.